周末，孩子在家写作业。其他课程我都不关心，除了数学。只有数学，从小学开始我就自己边重新开始学边辅导儿子，一直到初中几乎都没有中断。也是实在没有时间去钻研其他的科目，只好抓事物的主要矛盾，而数学就是关键，马虎不得，也耽误不得。现在他刚上高一，我自然惯性地重视他数学方面的学习。
等到他数学作业全部做完，我特意挑了他作业里面的最后一题看了一下，这道题是这样子的：
关于集合的知识因为提前温习过一遍，所以直接自己先做，做完检验了一下，觉得应该没有问题再总结了一下解题的思路。
首先，自然地应该会想到：要求满足 ，则A集合里的元素x的范围须在（-1,1）这个区间里，既然是子集，那么等于这个区间长度和小于这个区间长度都是可以的。
接下来，自然会想到要去求A集合里面的x，而要求A里面这个不等式，关键取决于a。因为要解A中的x，必须要消掉x前面的系数a。那么在不等式性质下对a进行分析研究就是顺理成章的事情了。也就是这个a能不能除？当然一种是能除，一种是不能除：
1.不能除。即当a=0时，而a=0，ax就恒等于零，这种情况下x无解，也就是说x作任何努力都是徒劳的，也即A=，而空集是任何集合的子集，所以a=0符合题意。
2.能除。又分两种情况：
（1）当a>0时，解不等式1<ax<2，即<x<。而根据上面的分析提到，A是B的子集，那么A中x的区间等于这个区间长度或小于这个区间长度都是可以的，也即区间的左右端点可以落在-1和1，也可以落在-1和1之间。也即当a>0时：要满足≥-1且≤1且a>0解这个联立不等式得到a≥2；
（2）当a<0时，解不等式1<ax<2，即<x<。同样道理，此时的a要满足≥-1且≤1且a<0，解这个联立不等式得到a≤-2。
综上，可知a的取值范围为：a≤-2或a=0或a≥2。
题是解完了，细细思量至少还有以下几点值得去思考和关注：
一是走出解题第一步的关键到底在哪里？这道题要求的是满足的a的取值范围，首先自然要想到的是参照、对比的对象B是什么情况？由此而一步步地按照既有知识、一定的顺序去抽丝剥茧。这个第一步或许对初学者来说，要求具备的是一种基本的阅读理解题目的能力，一种可以通过多刷题来提高解题反应速度的，类似打篮球凭手感的“下意识”。
二是对于初学者来说，第一种情形，即a=0时，x无解的情况下，能立即考虑到A是空集，又递进一步去想到空集是任何集合的子集，是比较罕见的，是极大概率会出错的地方。这个要靠多练，可能没有其他更好的办法。此外，解联立不等式时，有没有把前提a>0或a<0同时进行考虑，有没有忘记这个前提，也是初学者容易忽略的地方。
三是无解和不存在是不是同一回事？我第一次在解当a>0这种情形的时候，因为计算不过关，联立不等式解出来的结果是a≤-1且a≥2，从而得出a不存在的答案，后来在检验的时候发现错了。但由此产生一个疑问：假如确实有这种情况，即有a不存在的情况，那么这种情况下A里面的x是属于无解呢还是也是属于不存在？如果是算作无解，但这个情况下的无解和第一种情形即当a=0时下x无解是不一样的，那么假设的这种情况的A也可以算是空集？对于这个问题，我个人认为不应该算作空集，而应该是属于“不存在”，因为a不存在，在此前提下的x当然也是不存在的，类似于这道题的式子不存在。而当a=0时，式子还是可以存在的，只是没有解。所以说不存在和无解还是有区别。
三是解题的时候要有一套逻辑，而且不能中断。这道题的逻辑是什么？就基本的逻辑来说，就是要有前提、依据和次序。前提一般是题目中的已知条件，依据是集合、不等式的性质和定理等，次序是环环相扣的步骤。立论要明确，论证要有力，思维要连贯。
四是反复的练习是必不可少的，熟能生巧。这个是事物的普遍规律，没有人可以跨越。区别只是在于练习所需要的频次，有的人相对练得少就可以掌握，有的人则相反，程度不一。练习还是一种测试，通过题型的多变，也就是不断换“马甲”，在同一个或同一类问题上反复训练、检验学生对概念的理解和掌握程度，终极目标就是“生巧”，无极就是太极。
五是不要忘记事物的两面性，也即一体两面。简单的比如此题中要把a除下来的时候，有些初学者就是只考虑到能除的正负情形，却往往会忽略不能除的情形。这个时候，多联系事物必然有至少的两面，一阴一阳谓之道这个规律就不太会遗漏，不太会使自己成为“一根筋”。注意应该至少是两根筋而不是一根筋。
当然，应该还有其他的、更好的思考可以被梳理出来，这里就不一一枚举了，权当抛砖引玉。
我自己做完并思考完毕，再来看孩子的解答。他的解答很简洁，简洁到了让我质疑我自己是不是做错了、想多了。他的答案是：a≤2。
......此处省略1000字。
最后，我对他说：“爸爸讲的只是给你一个参考，最终的解答要以学校老师的解析为准，毕竟老师才是最专业的。”
网友评论