5.6 两个总体均值之差的区间估计

作者: 迪丽娜扎 | 来源:发表于2019-06-16 13:12 被阅读0次

分为三种情况：独立大样本、独立小样本、配对样本

1. 独立大样本

独立大样本前提下，两个样本均值之差 $(\bar {x} _1 - \bar {x}_2)$ 服从期望值为 $\mu _ 1 - \mu _2$ ，方差为 $\frac{\sigma^2_1}{n_1} + \frac{\sigma^2_2}{n_2}$ 的正态分布。

因此，置信水平为1-α的置信区间为 $(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}$ 。

当总体的 $\sigma ^2$ 未知时，使用样本方差 $s ^ 2$ 代替，区间变为 $(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}}$

2. 独立小样本

2.1 当总体的方差已知

此时估计公式跟大样本时一毛一样

2.2 当总体的方差未知

2.2.1 当两个总体的方差相等

① 使用两个样本的方差共同估计总体的方差，公式为 $\sigma ^ 2 \approx s^2_p = \frac{(n_1 -1)s^2_1 - (n_2-1)s^2_2}{n_1 + n_2 -2}$

② 样本均值之差标准化后服从自由度为 $n_1 + n _2 -2$ 的t分布，标准化的方式为 $\frac{(\bar{x}_1 -\bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$ ~ $t(n_1 + n_2 -2)$

③ 得出 $\mu _ 1 - \mu _2$ 的置信水平为1-α的置信区间为 $(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2 -2){s_p \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$

2.2.2 当两个总体的方差不相等

① 样本均值之差标准化后近似服从自由度为v的t分布，v的计算公式为 $v = \frac{(\frac{s^2_1}{n_1} + \frac{s^2_2}{n_2})^2}{\frac{(s^2_1/n_1)^2}{n_1 -1} + \frac{(s^2_2/n_2)^2}{n_2 -1}}$

② 然后 $\mu _1 - \mu_2$ 的置信水平为1-α的置信区间为 $(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2}(v){\sqrt{\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}}}$

至于为什么，我也不知道~

3. 配对样本

先说下什么叫配对样本。假设我们想估计中国人的平均身高和平均体重的差（两个总体均值之差的估计问题）。一种采样方式是，我们随机找了1W个人采集了他们的身高，得到了身高的一个样本，又随机找了1W个（也可以是2W个）人的体重，得到了体重的一个样本。然后我们就可以研究均值之差了。上面这种采样方式，叫独立样本。

另一种方式，我们随机找了1W个人，采集了他们的身高，又采集了他们的体重。这样得到的身高和体重的样本就叫配对样本。

基于配对样本估计总体均值之差时，可以先在微观上作差，然后基于这些差值构成的集合进行估计。描述如下：

① 先得到由差值构成的集合；

② 计算其均值 $\bar d$ ;