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并查集操作的复杂度是log n。是一个衰减非常快的函数，即使n 很大，log n的结果也接近一个常数，不会超过5。
其实并查集顾名思义就是有“合并集合”和“查找集合中的元素”两种操作的关于数据结构的一种算法。
A case of its application
有n个人，每个人都有唯一的标签，分别是0,1,……,n – 1。已知0号得了一种传染病，这种病只要与人接触了就会传染，一传十十传百。我们统计了哪些人有过接触，求最终被感染的人是哪些？
假设我们给出的接触信息如下：
[[0, 1], [0, 2], [1, 3], [3, 4], [1, 2], [5, 4]]
先合并
image.png
最后查找0所在的集合
Other applications
2、用在求解最小生成树的Kruskal算法里。
初始化、查找、合并
初始化存储空间（array or struct）
一般来说，题目简单用数组，题目复杂用结构体，因为结构体有条理，数组可以少打几个字。
包括对所有单个的数据建立一个单独的集合（即根据题目的意思自己建立的最多可能有的集合，为下面的合并查找操作提供操作对象）
在每一个单个的集合里面，有三个东西。
1，集合所代表的数据。（这个初始值根据需要自己定义，不固定）
2，这个集合的层次通常用rank表示（一般来说，初始化的工作之一就是将每一个集合里的rank置为0）。
3，这个集合的类别parent（有的人也喜欢用set表示）（其实就是一个指针，用来指示这个集合属于那一类，合并过后的集合，他们的parent指向的最终值一定是相同的。）
（**有的简单题里面集合的数据就是这个集合的标号，也就是说只包含2和3，1省略了）。
初始化的时候，一个集合的parent都是这个集合自己的标号。没有跟它同类的集合，那么这个集合的源头只能是自己了。
（最简单的集合就只含有这三个东西了，当然，复杂的集合就是把3指针这一项添加内容，如PKU食物链那题，我们还可以添加enemy指针，表示这个物种集合的天敌集合；food指针，表示这个物种集合的食物集合。随着指针的增加，并查集操作起来也变得复杂，题目也就显得更难了）
结构体表示法
有的人是建立一个结构体把集合表示出来，如：
#define MAX 10000
struct Node
{
int data;
int rank;
int parent;
}node[MAX];
数组表示法
有的人则是弄很多相同大小的数组，如：
int set[max];//集合index的类别，或者用parent表示
int rank[max];//集合index的层次，通常初始化为0
int data[max];//集合index的数据类型
//初始化集合
void Make_Set(int i)
{
set[i]=i;//初始化的时候，一个集合的parent都是这个集合自己的标号。没有跟它同类的集合，那么这个集合的源头只能是自己了。
rank[i]=0;
}
一般来说，题目简单用数组，题目复杂用结构体，因为结构体有条理，数组可以少打几个字。
Find without PathCompression : 查看某个元素在不在集合中，返回parent代表元
就是找到parent指针的源头，可以把函数命名为get_parent（或者find_set，这个随你喜欢，以便于理解为主）
如果集合的parent等于集合的编号（即还没有被合并或者没有同类），那么自然返回自身编号。
如果不同（即经过合并操作后指针指向了源头（合并后选出的rank高的集合））那么就可以调用递归函数，如下面的代码：
/**
*查找集合i（一个元素是一个集合）的源头（递归实现）。
如果集合i的父亲是自己，说明自己就是源头，返回自己的标号；
否则查找集合i的父亲的源头。
**/
int get_parent(int x)
{
if(node[x].parent==x)
return x;
return get_parent(node[x].parent);
}
数组的话就是：
//查找集合i（一个元素是一个集合）的源头（递归实现）
int Find_Set(int i)
{
//如果集合i的父亲是自己，说明自己就是源头，返回自己的标号
if(set[i]==i)
return set[i];
//否则查找集合i的父亲的源头
return Find_Set(set[i]);
}
Union
合并过程.png
这就是所谓并查集的并了。至于怎么知道两个集合是可以合并的，那就是题目的条件了。
先看代码：
void Union(int a,int b)
{
a=get_parent(a);
b=get_parent(b);
if(node[a].rank>node[b].rank)
node[b].parent=a;
else
{
node[a].parent=b;
if(node[a].rank==node[b].rank)
node[b].rank++;
}
}
再给出数组显示的合并函数：
void Union(int i,int j)
{
i=Find_Set(i);
j=Find_Set(j);
if(i==j) return ;
if(rank[i]>rank[j]) set[j]=i;
else
{
if(rank[i]==rank[j]) rank[j]++;
set[i]=j;
}
}
Union工作原理
-
每次做Union操作的时候都需要先做find操作，然后再合并两个集合的祖先； -
K次union操作最多涉及2k个元素(假设每次做union操作的两个元素术语不同的集合)
-
至少需要n-1次union才能把所有元素都合并成一个n元素的大集合。也就是说，每次union操作以后，集合的数据最多减少一个（这里可以注意一下:因为之后的一道题就会用到这个理论）
Union Optimal
Path Compression通过更改查找部分的代码实现
image.png
parent[x] = find(parent[x]); //路径压缩
控制树的高度来降低复杂度
一般来说，在union操作的时候，我们有两个原则：
a. Link by size：节点较少的合并到节点多的；
b. Union by rank：高度较低的树合并到高度较高的树。
这两个优化的原理都是通过控制树的高度来降低复杂度的，因为find的时间复杂度取决于树的高度。
image.png
Exercise
小试牛刀
Longest Consecutive Sequence
大展身手
Number of Islands
http://dwz.cn/39Y5PD
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