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数学公式测试（测试帖）

数学公式测试（测试帖）

作者: Azur_wxj | 来源:发表于2019-03-04 19:53 被阅读0次

三重积分

三重积分的积分区域
\Omega=\{(x,y,z)|x^2+y^2\leqslant z \leqslant h,x^2+y^2\leqslant h \}
设被积函数为\phi(x,y)=x^2+y^2
于是所求的三重积分M=\iiint_{\Omega}\phi(x,y) \textrm{d}v为
\begin{align} M&=\iiint_{\Omega}\phi(x,y)\textrm{d}v\\ &=\iint_{x^2+y^2\leqslant h}\phi(x,y) \textrm{d}x\textrm{d}y\cdot \int_{x^2+y^2}^h \textrm{d}z\\ &=\iint_{x^2+y^2\leqslant h}\left(h-(x^2+y^2)\right)\cdot (x^2+y^2) \textrm{d}x\textrm{d}y \end{align}
由于被积函数出现了x^2+y^2项，所以考虑极坐标求解二重积分更为方便，积分区域\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant h\}转化为极坐标区域\{(r,\theta)|0\leqslant \theta \leqslant 2\pi,0\leqslant r \leqslant \sqrt{h}\}，并且x^2+y^2=r^2
从而
\begin{align} M&=\iint_{x^2+y^2\leqslant h}\left(h-(x^2+y^2)\right)\cdot (x^2+y^2) \textrm{d}x\textrm{d}y\\ &=\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{h}}\left(h-r\right)\cdot r^2 \textrm{d}r\\ &=2\pi\cdot \int_0^{\sqrt{h}}\left(h-r\right)\cdot r^2 \textrm{d}r \end{align}

偏导数

z=f(x,2x+y,xy)
则
\begin{align} \frac{\partial z}{\partial x} &=f_1\cdot [\frac{\partial}{\partial x}(x)]+f_2\cdot [\frac{\partial}{\partial x}(2x+y)]+f_3\cdot [\frac{\partial}{\partial x}(xy)]\\ &=f_1+2\cdot f_2+y\cdot f_3 \end{align}
从而
\begin{align} \frac{\partial z^2}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)\\ &= \frac{\partial}{\partial y}\left(f_1+2\cdot f_2+y\cdot f_3 \right) \\ &= \frac{\partial f_1}{\partial y}+2 \frac{\partial f_2}{\partial y}+f_3+y \frac{\partial f_3}{\partial y} \end{align}
\begin{align} \frac{\partial f_1}{\partial y} &=\frac{\partial}{\partial y}\left[f_1(x,2x+y,xy) \right]\\ &=f_{12}+x\cdot f_{13} \end{align}
\begin{align} \frac{\partial f_2}{\partial y} &=\frac{\partial}{\partial y}\left[f_2(x,2x+y,xy) \right]\\ &=f_{22}+x\cdot f_{23} \end{align}
\begin{align} \frac{\partial f_3}{\partial y} &=\frac{\partial}{\partial y}\left[f_3(x,2x+y,xy) \right]\\ &=f_{32}+x\cdot f_{33} \end{align}
\begin{align} \frac{\partial z^2}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial f_1}{\partial y}+2 \frac{\partial f_2}{\partial y}+f_3+y \frac{\partial f_3}{\partial y}\\ &=(f_{12}+x\cdot f_{13})+2 \cdot (f_{22}+x\cdot f_{23})+f_3+y\cdot (f_{32}+x\cdot f_{33})\\ &= f_{12}+x\cdot f_{13}+2\cdot f_{22} + (2x+y)\cdot f_{23}+xy\cdot f_{33}+f_3 \end{align}

\begin{align} \frac{\partial z^2}{\partial ^2 y} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)\\ &= \frac{\partial}{\partial y}\left(f_2+x\cdot f_3 \right) \\ &= \frac{\partial f_2}{\partial y}+x\cdot \frac{\partial f_3}{\partial y} \\ &= f_{22}+x\cdot f_{23}+x\cdot (f_{32}+x\cdot f_{33}) \\ &= f_{22}+2x\cdot f_{23}+x^2\cdot f_{33} \end{align}

行列式

-10\cdot \begin{vmatrix} 1&1&1&\\ 0&0&-4\\ 0&-4&0\\ \end{vmatrix}=-10\cdot \begin{vmatrix} 0&-4\\ -4&0\\ \end{vmatrix}=-10\cdot (-16)=160

微分方程

已知f(x)\int_0^xf(t)dt=1\quad(x\neq0)，求f(x)的一般表达式。

令y=\int_0^xf(t)dt，则f(x)=\frac{dy}{dx} ,所以原方程变为
\frac{dy}{dx}\cdot y=1
变形为
ydy=dx
对两边进行积分，有
\int ydy=\int dx
解得y^2=2x+C \quad \Rightarrow \quad y=\pm\sqrt{2x+C}
所以
f(x)=y'=\frac{1}{y}=\pm\frac{1}{\sqrt{2x+C}}
因为当x\rightarrow 0时\int _0^x f(t)dt \rightarrow 0，则f(x)\rightarrow \infty，否则二者相乘不可能恒为1，即
\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\pm\frac{1}{\sqrt{2x+C}}=\pm \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{C}}=\infty
则必然有C=0
于是
f(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2x}}

一维正态分布

若随机变量X服从一个位置参数为\mu、尺度参数为\sigma的概率分布，且其概率密度函数为

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp{\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}

则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为**正态分布，记作 X\sim N(\mu,\sigma^2)，读作X服从N(\mu,\sigma^2)，或X服从正态分布。

\mu维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

雅克比矩阵

在向量分析中，雅可比矩阵是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。

在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。

它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比行列式"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。

假设某函数从\mathbb{R}^n映到\mathbb{R}^m，其雅可比矩阵是从\mathbb{R}^n到\mathbb{R}^m的线性映射，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。 假设F:\mathbb{R}_n\rightarrow \mathbb{R}_m是一个从n维欧氏空间映射到到m维欧氏空间的函数。这个函数由m个实函数组成：
y_1(x_1,x_2,\cdots,x_n),\cdots,y_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)
这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵：
A=\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\dots&\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}&\dots&\frac{\partial y_m}{\partial x_n}\\ \end{bmatrix}
此矩阵用符号表示为：J_F(x_1,\cdots,x_n)，或者
\frac{\partial (y_1,\cdots,y_m)}{\partial ((x_1,\cdots,x_n)}
y_i(i=1,\cdots,m)这个矩阵的第 i行是由梯度函数的转置表示的。

如果p是\mathbb{R}^n中的一点，F在p点可微分，根据高等微积分， J_f(p)是在这点的导数。在此情况下，J_f(p)这个线性映射即F在点p附近的最优线性逼近，也就是说当x足够靠近点p时，我们有
F(x) \approx F(p)+J_F(p)\dot(x-p)

麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations），是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。它由四个方程组成：描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。

从麦克斯韦方程组，可以推论出电磁波在真空中以光速传播，并进而做出光是电磁波的猜想。麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。

麦克斯韦在1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。

\oint_l H\cdot\textrm{d}x=\int_s J\cdot\textrm{d}s+\int_s\frac{\partial D}{\partial t}\cdot\textrm{d}s
\nabla\times H=J+\frac{\partial D}{\partial t}

线性方程

解方程
\bf A \cdot x=B
其中
\bf{A}=\begin{bmatrix}1&1\\ 2&3 \end{bmatrix} \qquad \bf{x}=\begin{bmatrix}y_{zi}\\y_{zs} \end{bmatrix}
\bf{B}=\begin{bmatrix}\textrm{e}^{-t}+\cos{\pi t}\\ -2\textrm{e}^{-t}+3\cos{\pi t}\end{bmatrix}
则因为\textrm{det}({\bf{A}})=1，从而
{\bf A}^{-1}=\begin{bmatrix}3 & -1\\ -2&1 \end{bmatrix}
于是
{\bf x=A^{-1}\cdot B}=\begin{bmatrix}3 & -1\\ -2&1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}\textrm{e}^{-t}+\cos{\pi t}\\ -2\textrm{e}^{-t}+3\cos{\pi t}\end{bmatrix}

得到
{\bf x}= \begin{bmatrix} 5 \textrm{e}^{-t} \\ -4\textrm{e}^{-t}+\cos{\pi t}\end{bmatrix}={\bf p_1}\cdot\textrm{e}^{-t}+{\bf p_2}\cdot \cos{\pi t}

其中 {\bf p_1}=[5 , -4]^T，{\bf p_2}=[0,1]^T

积分

G(\tau)=\iint_{L} \left( \sum_{i=-k}^{J(k,L(p_0))}{\bf h}\cdot q(i,{\bf s},\tau)\right) \cdot \textrm{d}{\bf s}
f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)\textrm{d}\tau

二维正态分布

(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)
概率密度：
f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp{\left\{\frac{-1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}}

\mathscr{L}[\delta{(t)}]

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