习题九

习题九

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-11-03 22:16 被阅读0次

习题九

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设 $p$ 是素数， $p\equiv2\pmod{3}$ ， $a$ 和 $b$ 是整数. 证明：
$a^3\equiv b^3\pmod{p}$
成立得充分必要条件是 $a\equiv b\pmod{p}$ .

证明：
充分性:
由 $a\equiv b\pmod{p}$
有 $p|a-b$
又 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$\therefore p|a^3-b^3$

必要性:
有 $a^3\equiv b^3\pmod{p}$
$(\frac{a}{b})^3\equiv1\pmod{p}$
即解 $x^3\equiv1\pmod{p}$
$\therefore 3\text{ind}\;x\equiv0\pmod{p-1}$
即 $p-1|3\text{ind}\;x$
又 $p\equiv2\pmod{3}$
$\therefore p-1\equiv1\pmod{3}$
$\therefore p-1|\text{ind}\;x$
又 $0\leqslant\text{ind}\;x\leqslant\varphi(p)-1=p-2$ .
$\therefore \text{ind}\;x=0\Rightarrow x=1$
$\therefore (\frac{a}{b})^3\equiv1\pmod{p}$ 有解 $\dfrac{a}{b}\equiv1\pmod{p}$
即 $a\equiv b\pmod{p}$

整数与多项式-【目录】

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