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习题九

习题九

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-11-03 22:16 被阅读0次

习题九

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设 p 是素数，p\equiv2\pmod{3}，a 和 b 是整数. 证明：
a^3\equiv b^3\pmod{p}
成立得充分必要条件是 a\equiv b\pmod{p}.

证明：
充分性:
由 a\equiv b\pmod{p}
有 p|a-b
又 a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
\therefore p|a^3-b^3

必要性:
有 a^3\equiv b^3\pmod{p}
(\frac{a}{b})^3\equiv1\pmod{p}
即解 x^3\equiv1\pmod{p}
\therefore 3\text{ind}\;x\equiv0\pmod{p-1}
即 p-1|3\text{ind}\;x
又 p\equiv2\pmod{3}
\therefore p-1\equiv1\pmod{3}
\therefore p-1|\text{ind}\;x
又 0\leqslant\text{ind}\;x\leqslant\varphi(p)-1=p-2.
\therefore \text{ind}\;x=0\Rightarrow x=1
\therefore (\frac{a}{b})^3\equiv1\pmod{p} 有解 \dfrac{a}{b}\equiv1\pmod{p}
即 a\equiv b\pmod{p}

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