原创六：蚂蚁爬行专题

记北师版八上数学教材第一章第三节《勾股定理的应用》第一课时

课本上关于本课内容设计了一个课时，主要包括蚂蚁爬行问题、利用方程思想求直角三角形边长、验证直角的实际问题三部分。考虑蚂蚁爬行问题在学生做题中常见且变式较多，故将本节课分两个课时，第一节课为蚂蚁爬行专题课。

一、教学目标

经历探究蚂蚁爬行问题的过程，掌握解决此类问题的一般步骤

二、教学重难点

重点：在展开图上画出并计算最短路径

难点：长方体上最短路径的选择

三、教学流程

1.回顾引入

复习勾股定理内容，明确其作用为已知直角三角形得三边关系求边长。再回顾七年级学过的一个基本事实：两点之间线段最短。

2.新课讲授

例1.出示课本例题

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为防止课本上其他内容对学生思考造成干扰，故在课堂当中只画图、口述题目。

这里注意例题当中的关键语句“上底面上与点A相对的点B处”（准确对点B定位）和“最短路径”（暗示解题思路）的理解。

蚂蚁在立体图形表面爬行，所爬过的路径是一段曲线。这里的立体图形和曲线是学生所不熟悉的。题目要求的“最短路径”问题又似曾相识——学生在七上曾学习过有关线段的基本事实：两点之间线段最短；七下时又接触过“将军饮马”线段之和最短问题，而以上这些都是平面几何的问题。种种信息在暗示：这里应当化立体为平面，化曲线段为直线段，因此想到将圆柱的侧面展开。

在展开的平面图当中找到A,B两点。A,B两点间的连线即为两点间的最短路径。线段AB的长度可通过构造直角三角形，利用勾股定理求出。

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关于蚂蚁在圆柱表面爬行问题，我在课堂上共分了五种变式，总结了三个步骤（如上图）。每一种变式在分析时，先用A4纸卷成圆柱，以便学生更加直观形象地理解，准确在展开图上找出关键点的位置。

需要说明的是第5小题“在圆柱的内壁，位于B点下方3厘米处的G点”。有了前4问的基础，学生1想到从A点先走到B处，再从B点下到G点处，学生2想到将圆柱的内壁展开,在“翻上来”。这时取一张a4纸对折，将折痕想象成杯沿。黑板上画图，找到直角三角形，再计算。用“三角形任意两边之和大于第三边”或“两点之间线段最短”来反驳学生1的观点。

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观察上图，蚂蚁由A点爬到杯沿上的P点处，再由P点爬到G点。展开图中AP和GP为线段，而点A、点G为已知的两定点，点P不定且在杯沿这条线上，这又是“将军饮马”模型。而且将军饮马问题的第一步做对称点，其实就是我们翻折上去的那个点。

例2.蚂蚁在长方体表面爬行问题。

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这道题中，要求“路径最短”，学生首先的直观感受是经过的面越少，路径越短，显然，最短经过两个面。其次两个面是哪两个面？这里就要进行分类讨论了。先给长方体的六个面分别命名，图下底面无法经过外，其他五个面均有可能通过。学生分出四种情况，这时有学生提出：长方体中相对的两个面全等，因此“前+右”与“左+后”是一样的。这里首先肯定，再通过计算进一步说明。

爬行路径经过两个面，为了简化问题，只画出两个面的展开图即可。继续沿袭之前的步骤：展开、连线、计算。比较每种情况下的结果，选取最短路径。

值得思考的是：最短路径怎样形成的？

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比较不同情况下AG²的计算过程发现：结果都是4项式，且前三项为长方体长、宽、高的平方和——确定，第四项为二倍乘积项（源自完全平方公式的展开式，长宽高3选2的乘积）——不定。因此要让AG²最短，只需长宽高当中最短的两条在展开图中共线相加，与第三条构成直角三角形即可。

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