概率论 | 墨菲定律

写在前面：

前阵子上概率论的时候，老师给了一个有趣的问题（好吧，知乎上也有，滑稽），其中牵涉到了墨菲定理，感触挺深，特将此分享给其他的读者朋友。

墨菲定律：

什么是墨菲定律？

墨菲定律是一种心理学效应，由爱德华·墨菲（Edward A. Murphy）提出的，亦称墨菲法则、墨菲定理。

墨菲定律的原句是：如果有两种或两种以上的方式去做某件事情，而其中一种选择方式将导致灾难，则必定有人会做出这种选择。

根本内容是：如果事情有变坏的可能，不管这种可能性有多小，它总会发生。

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墨菲定律（Murphy's Law）主要内容有四个方面：

一、任何事都没有表面看起来那么简单；

二、所有的事都会比你预计的时间长；

三、会出错的事总会出错；

四、如果你担心某种情况发生，那么它就更有可能发生。

“墨菲定律”的根本内容是“凡是可能出错的事有很大几率会出错”，指的是任何一个事件，只要具有大于零的机率，就不能够假设它不会发生。
——《百度百科》

问题引入：

掷1000次硬币，出现连续十次（或以上）正面的概率是多少？

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分析：

• 1. 简单介绍一下递归算法：

可能还是有一些同学对递归算法也没什么概念，简单的回顾一下递归算法的两个解题要点：

（1）找到递归方程：递归方程的表述有点晦涩，白话点说，通常就是找到相邻两步之间的关系。例如经典汉诺塔问题中，移动3个圆环和移动2个圆环之间有什么关系？移动10个圆环和移动9个圆环之间有什么关系？进而推广到移动N个圆环和移动N+1个圆环之间有什么关系？

（2）找到递归边界：通常来说，就是把题目的条件改成一个很小的数字，并找到一个简单明确的答案。例如汉诺塔问题中，移动1个或2个圆环，都有显而易见的最优答案，就可以作为递归边界。

显而易见的，如果具备以上两个要素，就可以从递归的边界开始，根据递归方程，依次的推算出所有结果。基本和数学归纳法一个思想。递归的思想也可以说“用简单的事情重复做”的方法来解决复杂的问题。

• 2.本题的递归解题过程：

便于表述，先约定一下表述含义：

（1）目标事件：就是指出现至少一次连续10次或10次以上正面朝上这个事件，之后会简称为目标事件。

（2）P(n)代表的是，当总共扔n次硬币时，目标事件发生的概率为P(n)。例如当总共只扔10次时，出现连续10次都是正面的概率就记为P(10)。当连续扔1000次时，目标事件的发生概率就记为P(1000)。

明确了符号定义后，开始试着找出本题的递归边界和递归方程。

• 递归边界：

首先，本题的递归边界似乎很容易确定。

我们先不考虑扔1000次这么多，不妨先只考虑扔10次。总共只扔10次，要连续10次都是正面朝上的概率是多少？很显然，这个概率等于1/1024（2的10次方等于1024），也就是说P(10)=1/1024。当然，如果扔的总次数小于10次，那显然目标事件发生概率就是0了，因为连总次数都不足10次，不可能会出现连续10次正面朝上。也就是说当n<10时，P(n)=0。

至此，递归边界可以确定下来了。

• 递归方程：

寻找递归方程的问题，也就基本等价于“P(n)和P(n+1)之间，到底有什么关系？”也就是每当多出1次扔的机会时，概率如何变化？我们知道肯定是变大了，只是暂时不知道具体增加了多少而已。

如果我们成功找到了相邻两步之间的计算关系，那么显然就解题成功了。因为P(10)是明确等于1/1024，我们可以通过P(10)算出P(11)，通过P(11)算出P(12)，通过P(12)算出P(13)......以此类推，直至算出P(1000)。

至此，原本一个看着无从着手的问题，就变得很具体了，无非就是找出P(n)和P(n+1)之间的运算关系。

• 先从最简单的P(10)和P(11)的关系来看：

P(10)=1/1024。这个很明确，总共只扔10次，要10次都正面朝上，只有1种可能性，而总的可能性有1024种。

如果扔11次呢？显然扔11次得到连续10次正面朝上的概率肯定比只扔10次要大。那P(11)到底比P(10)大多少呢？

如果前10次已经出现了连续10次的正面，那么无论第11次扔正面还是反面，都已经满足条件，所以P(11)里已经完全包含P(10)。而扔11次相比扔10次多出来的机会只可能是：“前10次都没有出现，而恰好在抛第11次时，才首次出现了连续10个正面的情况”，也就是说扔到第10次时，已经扔出连续9次正面，接着第11次也扔了正面，从而刚好满足连续10次正面。

也就是说P(11)应该等于P(10)再加上恰好在第11次抛硬币时才首次发生目标事件的概率。

P(10)和P(11)的关系算是明确了，那么是不是所有的相邻关系都是如此呢？还不完全一样。

假设我们现在已经抛了50次，已经知道了P(50)，那么P(51)和P(50)的关系是如何呢？首先他们的关系结构上应该也是一样的，也就是说P(51)应该等于P(50)再加上恰好在抛第51次时才首次发生目标事件的概率。只不过在计算这个新增概率时，需要考虑的情况会比之前稍复杂一些。

P(50)和P(51)的关系已经具备一般性，所以我们可以推广到更一般的P(n)和P(n+1)的关系了。

当n<20时，n-10<10，所以P(n-10)都等于0，递归方程均成立。

至此，递归边界和递归方程都已经找到了。

PS：这只是其中一种解法，比较容易理解，课上老师也是用的这种方法。其他解法可以上知乎查看，说实话其他解法我也不会。

代码实现【C++】：

这里用了一个循环，进行打表，再进行查询。
为什么不用递归做呢，因为实在是等不到结果，时间太长了（😭😭😭）。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int Maxsize=1e6+5;
int n;
double ans[Maxsize];

// 循环打表 
void get_res()
{
    memset(ans,0,sizeof(ans));// 初始化数组ans为0 
    ans[10]=1.0/(1<<10);
    for(int i=10;i<1e6;i++)
    {
        ans[i+1]=ans[i]+(1-ans[i-10])/(1<<11);
    }
}

int main()
{
    get_res();
    printf("input the total positive number:"); 
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        // 当输入小于等于0时，退出程序 
        if(n<1)break; 
        printf("the result is: %.20lf\n",ans[n]);// 直接查表，输出结果 
        printf("input the total positive number: ");
    }
}

运行结果：

写在最后：

参考资料：

• 百度百科
• 维基百科
• 知乎：https://www.zhihu.com/question/46388875（问题来源）
• 知乎：https://www.zhihu.com/question/46388875/answer/522000121（内容、图片来源）
• bilibili（视频来源）

也许，是那么的遥不可及；也许，是那么的难以实现；也许，是那么的微乎其微。但是，只要有成功的概率，哪怕小到可以近似忽略，坚持去做，也可以逆天改命，完成逆袭。

不是说坚持就一定成功，但是不坚持，绝不会等来成功。就像抛硬币连续10次正面朝上，遇到这个问题，我们的第一反应会是，我的天，这个概率肯定特别低，但是，当抛的次数足够多的时候，概率就不断的接近1。

最后，分享一个视频，干了这碗毒鸡汤，一起加油！！！