知识点一：标准差和人生哲学
“正态分布”和“标准差”这两个概念，很多人并不了解它们的意义。从这两个概念出发，说一点人生哲学。
有了标准差这个概念，你以后考虑问题的时候，就多了一个思维工具。你观察世界会有一个更精确的眼光。
正态分布和标准差，是这个不确定的世界里数学家送给世人最有用的礼物。
这个思想可以用在很多事物上，但是为了简单起见，用投资来打比方。
1.只有期望是不够的
假设现在你手里有一笔钱，想投资做个小生意。你的一个朋友找到你，说他知道一个好生意。他说咱们拿这些钱在国内采购一批药品，运到非洲去卖掉，只要两个月的时间，平均会有40%的利润。请问这个生意你做不做呢？
两个月赚40%，这在任何地方都是好生意 —— 但是在做决定之前，肯定会问一个问题。
风险。
如果你今天给我10万元，我过两个月一定、确定、肯定还给你14万，这样的生意谁都会抢着做 —— 所以世界上根本就没有这样的生意。
你朋友介绍的这个非洲生意其实是这样的：10万元的货，运到非洲某国，如果一路上没有任何差错，能卖到28万元。这是180%的利润！可是这个非洲国家的政局不太稳定，腐败横行，你们这批货有50%的可能会被直接没收，那就是血本无归，利润是 -100%。
考虑到概率，这批货到非洲的“数学期望值”，是
180% × 0.5 - 100% × 0.5 = 40%
正好是40%的利润。
如果你有很多钱，每两个月都能拿出几十万元来做一次这样的生意，那么长期下来，你的确能收获40%的平均利润，你不用在乎风险。
但是如果你只有这10万块钱，这个生意你恐怕就不能做了。是，数学期望是正的，无数个平行宇宙里的我平均下来能赚到40%。可是这10万元我输不起。
换一种情况，如果有一半的可能性赚到80%，一半的可能性不赚不赔，这也算有风险，平均下来也是40%的利润，可是这个生意你就可以做。
只考虑数学期望是不够的。必须考虑风险的大小。
“标准差”，就是专门描写风险大小的概念。
2.正态分布
世界上大多数“不确定性”的事物，都可以用正态分布来描写。咱们先说说什么是正态分布。
把一个学校里的所有学生都放一起，看看他们的身高是怎么“分布”的 —— 也就是统计在每一个身高数值上有多少人 —— 结果差不多都是下面这样的形状：
身高中等的人数最多，特别矮和特别高的人都很少，整个形状是中间高、两边低。在这张图上1米65是中等身高，这也基本上是所有人的平均身高。
为什么会是这样呢？可以想象身高是一系列基因互相配合的结果。所有相关基因都表现的很“好”，身高才能达到最高；所有相关基因都表现“不好”，身高才能达到最低。这两种极端情况既然需要这么多基因同时好或者不好，出现的概率必然很低。大多数情况下有的基因表现好有的基因表现不好，结果就是身高中等。
如果把上面这个分布图取一个光滑的极限，它就是一条“钟形”曲线 —— 这就是著名的“正态分布”。下面这张图，是分别统计的男性和女性身高正态分布曲线 ——
生活中绝大多数受随机因素综合影响的事物，基本上都符合正态分布。身高和智商是典型的正态分布。考虑一笔投资，你可以把未来的各种可能性，当成正态分布。
当然也有一些事物不是正态分布，比如人的财富、城市的大小就更接近于所谓“幂律分布” —— 这是因为它们不是独立的随机事件，越有钱的人会越有钱，越大的城市越吸引人。但即便不是严格的正态分布，你做理论评估的时候也可以把它当做正态分布，有个理论总比没有强。
从数学上来说，每一个正态分布的图形，都是由两个变量完全决定的。一个是平均值，一般用 μ 表示，它决定了曲线的位置，是整个曲线正中间的一点。另一个就是“标准差”，数学符号是 σ（sigma，西格玛），它决定了曲线的宽度。
下面这张图直观地表现了 μ 和 σ 的意义 ——
拿前面说的那个投资的例子来说，平均利润是固定的40%，那么 μ = 0.4。而不同的投资风险大小不同，所以 σ 不一样。如果你有时候能赚180%有时候却是 -100%，那曲线的宽度就非常大，说明 σ，也就是标准差，很大。
对专业选手来说，一说标准差，他就能大概估计各种情况发生的概率大小。
我们还是拿身高说话，如上图所示，有68%的人的身高是处在距离平均值一个标准差的范围内。换句话说大多数人的身高都在平均值附近，不超过一个标准差。距离平均值两个标准差内的人数就能达到95%，三个标准差就是99.7%。
做质量管理的人有个术语叫“六西格玛”，它的意思就是在六个标准差之内出的产品都是合格的。六个标准差是什么概念呢？它覆盖了99.99966%的范围。
平时说的“智商”，现在科学的定义并不是什么“智力年龄除以心理年龄”，而是也是用标准差定义的。所有人的智商成正态分布，我们把所有人的平均智商设定为100。然后向右、向左，每经过一个标准差的范围，智商加减15分 ——
所以智商低于100一点都不可怕，智商的定义就是有一半人的智商要低于100！智商在85到115的人处在一个标准差的范围内，而我们知道有68%的人都在这里。如果你的智商是130，那你就是在两个标准差之外，你比97%的人聪明。如果你的智商是145，你就在三个标准差之外，进入了占人口总数0.1%的高智商集团。
智商都是跟别人比较的结果。任何一个智商测验，一个人考完了就直接打分都是不太合理的，应该所有人都考一遍，看看总体的分布，才能决定答对多少道题相当于智商是多少分。
在“数学期望” —— 也就是平均值 —— 之外，又有了一个关键概念，标准差。标准差的大小描写了正态分布的宽度。标准差，代表风险。
3.人生的标准差
考虑一下下面这张图，它描写了 A 和 B 两项投资。横坐标代表各种可能的回报率，纵坐标代表每个回报率发生的可能性大小。两个投资的平均预期回报率都是10%，但是 A 的标准差很小。请问你选哪个呢？
选 A 是稳定的回报，选 B 可能有惊喜，但是也有赔本的风险。
如果你足够理性，就别指望什么惊喜。平均预期已经告诉你了是10%，任何好运气都会被坏运气抵消。正如前面分析的非洲生意那样，你应该坚决选 A。
说到这里我想起以前听说的一个调查。有人问过怀孕的夫妇，说根据你们两个的智力，如果现在设定你们孩子的智商的均值预期是110，但是你可以选择一个标准差，你会选多大的标准差？如果你选一个比较大的标准差，可能会收获惊喜，生出来一个智商140的孩子，但也可能会收获不幸，智商只有80。结果几乎所有家长都选了一个非常非常小的标准差，宁可孩子不是聪明过人，也千万不要太傻了。
所以我们是真的不喜欢风险。
下面这张图是我画的，这三个分布代表三种人生。
A 分布代表中国所有的人。中国人的日子现在很不错，所以 A 分布的均值是正的 0.05。但是 A 分布的标准差很大，这意味着全国有很多人的生活比平均水平好很多，也有很多人的生活不太好。
B 分布代表理想人生。均值很高，而且标准差很小，简直是苏东坡说的“无灾无难到公卿”。可是世界上哪有这么好的事儿，所以人们的理性期待，是 C 分布。
C 分布的均值也是0.05，但是标准差比较小，相当于“平平淡淡过一生”。
C 也是一个奢望。平安是一种福气！低标准差，是更值钱的。
预期回报率相同的情况下，我们肯定选标准差低的那个。所以任何一个投资项目，想要让人接受一个很大的标准差，就必须提供一个很高的回报率。真正值得犹豫考虑的投资，是下图中的这两个 ——
A 的标准差比 B 小，但是 B 的预期回报比 A 大。也许 A 相当于买债券，B 相当于买股票。
那这种情况选 A 还是选 B 呢？答案就不是显然的了。有人认为评估一项投资的价值应该用预期回报除以标准差，这个比值叫“夏普比率（Sharpe ratio）”。按这个标准，你要让我接受多一倍的标准差，就得把回报率也给我提高一倍才行。
夏普比率并没有有什么科学根据，它只是一个主观的标准。但是这个道理非常简单：更大的风险要求更高的回报。
由此得到
1. 随机事件大多可以用正态分布描写。
2. 正态分布有两个指标，也是考虑任何随机事件首先要问的问题。“均值”代表平均的回报率，“标准差”代表风险大小。
3. 均值越大越好，标准差越小越好。高风险必须给高回报，这个项目才有存在的价值。
知识点二：对冲风险的数学原理
“不要把鸡蛋放在一个篮子里”。从数学上来说说这句话的原理是什么。了解了原理，你才知道这句话的科学用法 —— 特别是，到底应该把鸡蛋放在什么样的篮子里。
1.两只股票的故事
从前有一个销售户外体育用品的 A 公司。A 公司的业绩受天气、季节、特别是空气质量的影响非常大。为了简单起见，假设有一半的时间户外环境比较好，A 公司的利润是40%；在另外一半的时间户外环境不好，A 公司亏本运营，利润是 - 20%。当然，真实公司的业绩不会对天气如此敏感，这里只是打一个比方。
现在可以算出来，A 公司的平均利润，也就是数学期望，是 0.5×0.4 - 0.5×0.2 = 0.1，也就是10%的利润。这个利润其实还可以，但是 A 公司的标准差太大了，搞不好就一下子亏损20%。如果要买 A 公司的股票，就得想一想自己能不能承担那么大的风险。
现在还有一家卖室内用品 —— 比如说跑步机、空气净化器之类 —— 的 B 公司。B 公司的销售状况和 A 公司正好相反。户外环境越不好，B 公司的业绩就越好。我们假设 B 公司也是在一半的时间里有40%的利润，在另一半的时间里利润是 - 20%，正好跟 A 公司相反。B 公司的平均利润和标准差都跟 A 公司一样，所以面对 B 公司，也很犹豫要不要买它的股票。
但是如果这两家公司都摆在面前，该怎么办呢？应该，坚决，同时，购买它们的股票。
比如投入100块钱，50块钱买 A 公司，50块钱买 B 公司。来算算你每时每刻的收益。天气好的时候，A 公司盈利40%，B公司损失20%，你的实际赚了10块钱；而天气不好的时候，A公司损失20%，B公司盈利40%，你还是能赚10块钱。
看到没有？不管天气怎么变化，你的利润始终是10%。因为你同时持有这两家公司的股票，你的平均利润没有变化，而你的标准差变成了 0！
这就是分散投资最理想的例子。只买一家公司的股票，你有这么大的预期利润，但是要承担一个风险；而如果你买了两家公司的股票，你还是有这么大的利润，可是你却不用承担风险了。
只要能找到这样的投资组合，这不是躺着赚钱吗？
2.组合投资的标准差
真实世界中当然不存在这样两家正好相反的公司。但是只要能会找到两家公司，它们的表现存在“负的相关性”，就可以用这两家公司对冲风险。
所谓相关性就是两个变量一起变化的共同趋势。如果一个变大，另一个也跟着变大，它们就是“正相关”；如果一个变大，另一个变小，它们就是“负相关”。相关性可以用“相关系数”来描写，用希腊字母 ρ（rho）表示，ρ 的数值总是在 -1 和 1 之间。
有了相关系数，就可以计算一个投资组合的标准差了。如果投资组合里包含 n 只股票，用 W 表示它们所占的权重，那么根据每个股票的标准差和各个股票之间的相关系数，就可以用下面这个公式计算出这个投资组合的标准差 ——
这个公式看上去稍微有点复杂，但是其中的道理非常简单。投资组合的标准差是由其中每一只股票的标准差的平方进行加权，再考虑到不同股票之间两两相关的系数来决定。
不必记住这个公式。但是应该记住这个公式带来的两个结论。
第一，投资组合的标准差，总是小于其中所有股票标准差的加权平均值。
这个结论只要初中数学就能证明，具体过程我们就不推导了，关键原因就在于 ρ 总是在 -1 和 1 之间。
这意味着什么呢？意味着但凡把投资分散一下，哪怕是胡乱选几家公司放在一起，风险也降低了。
第二，如果能找到一些股票，他们之间的相关系数是负的（ρ < 0），那么投资组合的标准差将会大大降低。
负相关能够*抵消*风险 —— 所以叫做“对冲”。想要做到这一点，就不能只买同一个领域的股票，因为它们的运动往往是正相关的。应该各个领域都买一些。比如买了阿里巴巴，就最好再买一些苏宁易购，因为他们一个做线上一个做线下，（理论上）形成对冲。
两条加起来，就是“不要把鸡蛋放在一个篮子里”这句话的数学原理。这么做并不仅仅是一个篮子打翻了还有别的，而是让篮子和篮子互相补充，形成配合。只要有足够的负相关，投资组合就会东方不亮西方亮，黑了南方有北方。
所以要搞投资的话最好不要孤注一掷。理想情况是找到几家高回报率、同时又互相补充的公司做组合投资。如果找不到那么多高回报率的，用几个回报率稍微低一点的公司来对冲风险也是可取的。这就是各种股票基金背后最基本的原理。
3.为什么普通人不应该炒股
组合投资有这样的好处，但要真正获得这个好处可没有那么容易。要知道每只股票的预期收益是多少，要知道每只股票的标准差是多少，还要知道它们两两之间的相关系数。
这些数字都是根据各个股票近期的波动情况，用数学模型推算的。计算量非常大。如果你要考虑10只股票，它们之间两两的相关系数就有45个！如果要考虑几百只股票，计算量更是大到难以想象。
这么大的计算量，各种基础分析和技术分析，还要频繁交易才能保证投资组合时刻处在一个比较理想的状态。想要做到这些，一个人显然是不行的，它需要一个专业基金公司的运作。这个活儿得分工，有人专门负责研究每个股票的预期收益和标准差，有人专门设计投资组合，有人专门操盘才行。
换句话说，只有在钱足够多的情况下，才值得这么做。
所以，从风险角度来说，个人投资者相对于基金有天然的劣势。当然，风险大有时候你的盈利率会比任何基金都高，但这纯粹是运气。
基金是在用系统赚钱，而个人是“富贵险中求”。
想明白这个道理，结论就是普通人不应该炒股。那了解对冲风险的数学原理有什么用呢？也许可以用在生活上。
4.生活中的对冲
有个故事你可能早就听过。从前有个老太太，两个女儿都嫁人了。大女婿是卖雨伞的，二女婿是开染坊的。老太太到了晴天就担心大女婿生意不好，因为晴天雨伞卖不出去。到了阴雨天又担心二女婿生意不好，因为不能把染好的布晒干。老太太每天都担心，直到她遇到一位心灵鸡汤人士。鸡汤老师开导老太太说，你为什么不想想，晴天二女婿生意好，阴雨天大女婿的生意好呢？
一般人听这个故事都是听个正能量。数学家会从中得到一个什么道理吗？
这个道理就是要多生孩子。
大女婿和二女婿都有不错的收益率和比较大的标准差，正好是文章开头那个理想的投资组合。因为老太太有两个女儿，她就能在享受一个很好的收益率的同时，还把标准差给大大缩小了。
对冲的思想可以用于很多事情上。美国总统大选，一般公司搞政治捐款都不是只捐给一个党的，而是给两个党都捐钱 —— 不管谁上台都得感谢它。个人搞政治捐款意义不大，但如果公司有两位领导在竞争一个职位，那应该尽量跟这两个领导都搞好关系……总之多交朋友少树敌就对了。
希望中国队赢球，可是中国队总输球怎么办呢？可以去赌球网站买中国队输。中国队赢了高兴，中国队输了还能获得一点金钱上的安慰。
年轻的时候应该多学一些不同的技能，最好这些技能不要集中在同一个领域，要形成对冲的关系。不管将来经济形势如何变化你都有用武之地。
买保险是最简单的对冲。花钱不多，一旦有事就能用上。保险公司在乎的是数学期望，只要参保的人足够多他们总能赚钱，而我们在乎的是标准差。
由此得到
1. 组合投资的标准差总是小于其中每只股票标准差的加权平均，所以组合投资总是降低风险的。
2. 如果你有办法让组合投资中的不同项目之间存在负相关的关系，那你能大大降低风险。
3. 这个道理既适用于投资，也适用于生活。
对冲这个思想也不能滥用。
对冲仅仅是为了降低风险。只有在害怕风险的情况下，才值得去做对冲。如果风险不大，那集中才有力量。
比如说谈恋爱吧。如果你对每个姑娘都很好，那很可能一个姑娘都追不到。既然谈恋爱这件事没有多大风险 —— 也许有个机会成本 —— 你应该集中追求一个姑娘。你要是不满足于当个安全的旁观者，想*参与*公司政治斗争，那两头下注就是不行的。
对冲，本质上是个保守的做法。即便在投资界，也不是所有人都认可对冲。纳西姆·塔勒布赚了很多钱，而他在《反脆弱》这本书里就表示完全不屑于对冲风险 —— 他的做法是把大部分钱用于购买零风险的债券，然后一小部分钱用于最高回报、但也是最高风险的投资。他说那些中等回报、中等风险的东西都是给 suckers 准备的。
你从数学上无法证明哪种方法更有利。巴菲特发家也不是靠对冲，他是选准了股票下重注 —— 而你无法从数学上证明他的成功到底是不是因为运气好。
总而言之，风险和收益之间有矛盾。不可能又要高收益又要低风险。
电影里说出“富贵险中求”这句话的人最后都死了，但是真实世界中未必。到底是要富贵险中求，还是把鸡蛋放在不同篮子里，取决于你的风险承受能力 —— 最多只是告诉你，如果你要放篮子的话，应该选什么样的篮子。
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