群论

伽罗华的发现证明：计算不如结构重要。

伽罗华定义的群本质就是方程根形成的集合必须具有对称性质。

一般说来，一个抽象的集合不过是一组元素而已，无所谓结构，没有结构的集合，是没有意义的。数学研究的集合是定义了运算或者变换的（系统科学研究的集合，上面定义的可能是正反馈，负反馈，延迟，发散，收敛等等），这些运算或变换，就形成了集合的结构，也即定义了集合中元素的关系。伽罗华群结构思想是人类第一次将对象按照结构进行研究，并不管研究对象和运算具体是什么（群上面定义的运算，可以是加法，也可以是变换等等）。

伽罗华思想的价值是开启了现代数学的大门，使数学从运算转向研究运算性质，也即集合的结构。所以伽罗华思想是开启后来法国布尔巴 基学派以数学结构观 念统一数学的先导（布尔巴基学派简介在上一篇介绍数学基础时介绍过），布尔巴基实现了伽罗华没有实现的理想，他们把康托尔的集合论及希尔伯特的公理化方法作为统一数学的基础，从抽象群的公理理论出发，通过分析抽象群结构，搞清楚了人类的抽象结构概念是如何产生的，例如他们通过群就是在某一集合中定义有结合性，么元和逆元的一个运算（这三个性质叫群结构公理），就抽象出结构概念的一般特点是：满足一定条件公理的关系集合。所以布尔巴基认为集合上的关系是数学至关重要的概念，因为关系是各种运算的抽象，是构成一个结构的基础，不同的关系可以构成不同的结 构。布尔巴基学派就从结构观点出发，选出三种基本结构：代数结构、序结构、拓扑结构，作为元结构，通过从简单到复杂，从一般到 特殊的层次概念，构造出各种不同的结构，如复合结构、 多重结构、混合结构，建立了各种公理理论，在此基础上，统一了人类目前所有的数学学科。这其实是伽罗华思想的进一步发展：数学本质就是研究结构的。布尔巴基所做的只是把伽罗华已经确定的观念推广而已。

群的抽象定义是凯莱提出的，到20世纪初，已经成为数学的核心概念，几乎所有大数学家都认为其是数学的中心概念和统一数学的基础概念。如外尔就说过：没有群就不可能理解近代数学。庞加莱也曾说 过：可以说群论就是那摒弃其内容化为纯粹形式的整个数学。

总之，群论是十九世纪最杰出的数学成就，是人类摆脱幼年思维的标志，也即从此摆脱了依赖直观+计算来理解世界。群论以结构研究代替计算，把人类从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，是物理学和化学发展的重要推动。

抽象的力量是巨大的，Feynman认为用代数角度而不是偏微分方程来理解量子力学要容易得多，因为代数的抽象恰好可以避免望文生义和误入歧途。而且偏重计算的偏微分方程会导致学生舍本求末，陷入细节而难以抓住本质。

代数虽然没几何直观，但是面对N维空间时，其实几何直观优势已经荡然无存（所以克莱因才要用抽象代数统一几何）。面对直观以外的世界，我们唯一可以依靠的只有抽象+逻辑。

几何与代数的特点很像以现象研究为对象的初等物理和以本质研究（不变量研究）为主的理论物理。 

代数通过不断的抽象来提炼更加基本的概念，例如两个群，不论它们的元素真实背景是什么（这些元素不管描述的是膨胀、收缩、转动、反演、振动、声音、流体、电磁波等等)，只要运算性质相同，彼此就是同构的，并且可以因此认为是相同的代数结构而不加区别。

代数的每一次抽象都是学科升级的过程。

例如克莱因用群论来把几何中的许多互不相干的分支之间建立了内在的联系。

克莱因对几何学的定义：几何学是当集合S的元素经受某变换群T中所包含的变换时集合S保持不变的那些性质的研究，为方便起见,这种几何学以符号G(S,T)表示。

也即任何一种几何学可以用公理化方法来构建，也可以把变换群和几何学联系起来。

例如集合S叫做空间，S的元素叫做点，S的子集A和B叫做图形，凡是等价的图形都属于同一类（图形等价类）。

同一类里的一切图形所具有的几何性质必是变换群G下的不变量，因而可用变换群来研究几何学（Erlangen纲领），例如在正交变换群下保持几何性质不变的便是欧式几何，在仿射变换群下保持不变的便是仿射几何，在射影变换群下保持不变的便是射影几何，在微分同胚群下保持不变的便是微分几何。

稍微具体一点，平面欧几里得度量几何为设S为通常平面上所有点的集合,考虑由平移、旋转和线上的反射组成的所有S的变换的集合T。因为任何两个这样的变换的乘积和任何这样的变换的逆变换还是这 样的变换,所以,T是一个变换群。长度、面积、全等、平行、垂直、图形的相似性,点的共线性和线的共点性这样的一些性质在群T下是不变的,而这些性质正是平面欧几里得度量几何所研究的。

仿射几何就是把平面欧几里得度量几何的变换群T扩大, 除了平移、旋转和线上的反射外,再加上仿射变换（换句话说，就是从欧几里得空间的距离概念抽象化出单比的概念，就从欧式几何中舍弃距离不变而保留更普遍的单比不变，就从欧氏几何升级到仿射几何）。在此扩大的群下,像长度面积和全等这类性质不再保持不变,因而不再作为研究的课题。但平行垂直图形的相似性,点的共线性,线的共点性仍然是不变的性质,因而仍然是这种几何中要研究的课题.

射影几何所研究的是平面上的点经受所谓射影变换时仍然保持不变的性质从单比抽象到交比概念（换句话说，从仿射几何中舍弃单比不变而保留更普遍的交比不变，升级射影几何）。在前面讲的那些性质中,点的共线性和线的共点性仍然保持不变,因而是这种几何所要研究的课题

在上述的几何中,使某变换群的变换起作用的基本元素是点,因此,上述几何均为点几何的例子。还有线几何, 圆几何,球几何和其他几何的例子。

在建立一种几何时,人们首先是不受拘束地选择几何的基本元素，其次是自由选择这些元素的空间或流形，自由选择作用于这些基本元素的变换群,这样,新几何的建立就成为相当简单的事了。也即从欧式空间（长度，夹角）到内积空间（模，不严格的夹角）再到赋范空间（范，完全抛弃夹角），不断的抽象，最后甚至连范数（最不愿抛弃的度量或度规）也抛弃了，从不严格的距离发展到不确定的距离，也即由欧式空间的连续函数抽象出度量空间的连续映射，一直到抽象出拓扑空间中的同胚映射，最后得到了拓扑空间的概念，这是人类目前为止在抽象上最深刻的极限。可以说克莱因用群论来研究几何学是人类思想的突破。

总之，群是数学中最有影响的概念，不了解群，就不可能了解现代数学。群论直接推动了代数数论、代数几何、函数论、微分方程与特殊 函数论和代数拓扑的产生和发展，甚至很多经典数学领域，因为群论的引入而现代化。

其实数学上这种抽象过程，也推动了理论物理学的发展，例如狭义相对论发展就是要摆脱坐标而直接度量时空的过程，而广义相对论发展就是摆脱时空度量概念，走向空间同胚概念的过程。

目前群论已经是现代物理的主要工具。群论广泛用于基本粒子、核结构、原子结构和晶体结构等，因为对称性是物质世界最普遍的性质，例如各种物体（分子、晶体或图形）都可以用特定的对称性群来描述其结构（晶体的空间对称性可以用点群描述，其实晶体X射线衍射的图案直接与其点群相关）；再例如时空存在对称性，可以用彭加莱群描述不同表示对应不同自旋的粒子，例如标量粒子、旋量粒子、矢量粒子；再例如量子力学里的全同粒子就是对称性的（基本粒子的规范对称性可以由李群描述，其实李群的结构常数直接决定了规范玻色子，比如胶子、W、Z玻色子的自相互作用）。

现代化学也离不开群论。例如化学中分子的性质受到分子对称性的影响（因为分子的对称性反映出分子中原子核和电子云的分布情况），所以可以根据分子对称性判断该分子的一些基本性质，例如判断是否具有旋光性（判别分子是否具有旋光性的常用的方法是比较实物和它的镜像，看它们能否完全重合，凡不能和镜像重合的分子都具有旋光性；反之，如果两者能够重合，则分子就没有旋光性），所以可以用分子的对称元素和所属对称群来判断其是否具有旋光性。

同样，根据分子的对称性，也可以判断分子有无偶极距。分子偶极距大小决定于分子正负电重心间的距离与电荷量，其方向规定为从正至负。因为分子所具有的对称性是分子中原子核和电子云对称分布的反映，分子正负电重心一定处于分子的对称元素上。所以分子的永久偶极矩是分子的静态性质，静态性质的特点就是它在分子所属点群每一对称操作下必须保持不变，为此μ向量必须落在每一元素上，因此可以根据“分子对称元素是否只交于一点”来预测分子有无永久μ。如果分子有对重心落在同一点上，因而无偶极距。若不存在上述的对称元素时，则分子的正负电重心不落在同一点上，就有偶极矩。

如果分子具有对称中心，那么分子的所有对称元素都交于此点，此点亦即分子正负电荷的重心。因此，具有对称中心的分子没有偶极矩。如果分子有两个对称元素交于一点，比如有一个对称面和垂直于此面的对称轴，或者有两个以上不相重合的对称轴，那么分子的正负电荷中心必重合于此交点，因而也没有偶极矩。分支虽有对称面和对称轴，但他们若不相较于一点，而且对称轴为对称面所包含，则他们具有偶极矩。

按照这一判据，可将分子所属点群和它是否具有偶极矩的关系总结为：对于具有偶极矩的分子可以进一步推断：当分子有C2 轴时，偶极矩必沿着此轴；当分子有对称面时，偶极矩必位于此面上；当分子有几个对称面时则偶极矩必沿着他们的交线。

再例如化学位移等价性的判别质子或其他的原子核，在一定的交变磁场的作用下，由于分子中所处的化学环境不同，从而将在不同的共振磁场下显示吸收峰。这一现象就叫做化学位移。化学位移是核磁共振波普中反映化合物结构特征最重要的信息之一。

氢气(H1)谱亦即质子谱，在核磁共振波普中应用最为广泛。氢谱中的各个峰与分子中的不同环境的质子相对应。这样便可根据分子对称性识别等价院子或基团，进而可以判别氢谱中化学位移的等价性。全同质子（通过旋转操作课互换的质子）在任何化学环境中都是化学位移等价的。对映异位质子（存在对称操作使分子中两个质子互换的质子）在非手性溶剂中具有相同的化学性质，也是化学位移等价的，但在光学活性或酶产生的手性环境中就不再是化学等价的，在核磁共振波普中可以显示偶合现象。此外，非对映异位质子（不能通过操作达到互换的质子）在任何化学环境中都是化学位移不等价的。分子中化学位移等价的核构成一个核组，相互作用的许多核组构成一个自旋系统。考虑分子的对称性，有利于对它们进行分类，因而群论就是最基础的。

群论也广泛用于分子结构判断，因为分子外形的对称性通过分子波函数与分子结构联系，而分子波函数可以作为分子所属点群的不可约表示的基。

杂化轨道理论主要是研究分子的几何构型，而构型和杂化的原子轨道在空间的分布和方向有密切的联系。由于在微观世界中，分子都具有一定的对称性，而对称性不同时，则其分子构型也必然不同，因此分子对称性就与其杂化轨道有内在的联系。群论的方法可以告诉我们：在具有一定形状的分子的化学成键中，中心原子可能采用什么样的杂化方式。运用群论的知识还可以知道中心原子提供哪些原子轨道去构成合乎对称性要求的杂化轨道，而且还可以进一步求出杂化轨道的数学表达式。

当然群论还有实际工程应用，例如先进陶瓷材料研发。我们都知道，先进陶瓷材料现在用途极为广泛，例如涡扇发动机用的陶瓷涂层材料，或陶瓷基复合叶片，甚至在尾喷管，燃烧室等等都开始使用陶瓷复合材料，以及在导弹某些关键部位的应用。

而大家不知道的是：群论在先进（陶瓷）材料的结构筛选中是基本工具。

因为晶粒对陶瓷的性能起着关键性的作用，所以研究晶粒是获得新材料性能的关键，例如由晶体的各向异性性，可以通过控制外界工艺条件使晶粒在某个晶向优先生长，从而可能具有某些前所未有的性能，在力学上使结构陶瓷得到更好的晶须增韧效果，在物理性能上或者在力学性质上增强，使功能陶瓷获得更好的韧性，刚性，抗切变性，或者是在电学性能上增强，例如获得更好的压电性能、热释电性、倍频效应，或者使人工晶体获得更好的旋光性等光学性能等等。

目前通常做法是通过对这些具有一定力学性能、物理性能的材料的微观本质的分析，可以利用对称群分析计算，筛选出掺杂物质和优化结构构造方式等等，来改变晶体的晶格，以获得性能更佳，物理效应更显著的晶体。

用对称群为工具也可以研究非晶态材料和非平衡态材料结构。非晶体与晶体相比有着大量的缺陷，原子或离子间的结合也不如晶体那般整齐有序，所以比同类晶体具有更大的内能，因此当非晶态向晶态转变或者反过来晶态向非晶态转变时将吸收或放出大量的能量，选择适当的材料显然在某些场合可以考虑由此而用来存储能量。