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学弟的2019北大综合营数学第5题思考

学弟的2019北大综合营数学第5题思考

作者: fishming | 来源:发表于2019-08-12 14:27 被阅读0次

2019北大综合营数学第5题

题目：

将10条长度为1的线段分成若干段，证明在得到的所有线段中一定可以找到6条线段，能够组成两个三角形。

分类一：存在2及以上个线段，每个线段中均可以找出三条线段构成三角形

分类二：仅存在1个线段，可以找出一个三角形

分类三：{\forall} 线段中均不能从自身中找出三角形

证明

引理：对于一个不能从自身找出三角形的线段，一定会有一根线段长度{≥1/3} 。

证明：

考虑一条线段被切分后的所有线段共n条，将他们按照长度由大到小依次排列，并且记排列后的数列为a。显然，如果一条线段中没有三条线段可以构成三角形，那么他一定满足如下规律

{a_{i+2}≥a_{i}+a_{i+1},i=1,2,3...}

观察到这一点，我们通过尝试发现，实际上

{a_{n}≥\frac{1}{2}(a_1+...+a_{n-2}+a_{n-1}),n=1,2,3...} (1)

显然，(1) 对 n=1,2,3均成立。假设(1)对于任何{k≥3} 均成立，考虑{k+1}的情况，观察一下已知情况

  1. {a_{n+1}≥a_{n}+a_{n-1}}
  2. {a_{n+1}≥a_{n}≥a_{n-1}}
  3. {2a_{n-1}≥a_1+a_2+...+a_{n-2}}

所以，{a_{n+1}≥2a_{n-1}≥a_1+a_2+...+a_{n-2}}

再结合1. 中的情况，显然有{a_{n+1}≥\frac{1}{2}(a_1+a_2+...+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n)}成立

{\therefore} 对于{\forall n}均有归纳假设成立，引理得证

对于分类一，显然是满足题意的。

对于分类二，剩下九条线段中一定是不能再自身线段中找到都成三角形的。所以，最长的线段一定{≥1/3}。下面使用抽屉原理

按照线段的长度分出两个抽屉

{[\frac{1}{3},\frac{2}{3})},{[\frac{2}{3},1]}

那么显然至少有一个抽屉中有3条线段。易证明，同一个抽屉中的三条线段一定是可以构成三角形的。

所以原命题得证。

对于分类三，剩下10条线段，证明过程与分类二类似，不再赘述。

按照这么推导，有没有觉得给10条结论怪怪的？

是不是8条就够了呢？是不是我们哪里有问题呢？

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