高等数学(七)常微分方程

作者: AdRainty | 来源:发表于2021-08-18 10:05 被阅读0次

（一）常微分方程的基本概念

微分方程
微分方程的阶/解
微分方程的通解/特解
初始条件
积分曲线

（二）一阶微分方程

1、可分离变量的微分方程

$\frac { d y } { d x } = f ( x ) g ( y )$
解法：将上式化为
$\frac { d y } { g ( y ) } = f ( x ) d x$

2、齐次方程

$\frac { d y } { d x } = \phi ( \frac { y } { x } )$
解法：
$\frac { y } { x } = u \Rightarrow \frac { d y } { d x } = u + x \frac { d u } { d x }$

3、线性方程

$y ^ { \prime } + P ( x ) y = Q ( x )$
其通解为：
$y = e ^ { - \int P ( x ) d x } [ \int Q ( x ) e ^ { \int P ( x ) d x } d x + C]$

4、伯努利方程

$y ^ { \prime } + P ( x ) y = Q ( x ) y ^ { \alpha } , \alpha \neq 1 \Rightarrow y ^ { 1 - \alpha } = z$

则
$\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+P\left( x \right) z=Q\left( x \right)$

5、全微分方程

$P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0$
判定： $\frac { \partial P } { \partial y } = \frac { \partial Q } { \partial x }$
解法：偏积分、凑微分、线积分

（三）可降阶方程

$y ^ { \prime \prime } = f ( x , y , y ^ { \prime } )$
第一类： $y ^ { \prime \prime } = f ( x )$
解决方法：积分两次即可
第二类： $y ^ { \prime \prime } = f ( x , y ^ { \prime } )$
解决方法： $y ^ { \prime } = p , y ^ { \prime \prime } = \frac { d p } { d x }$
第三类： $y ^ { \prime \prime } = f ( y , y ^ { \prime } )$
解决方法： $y ^ { \prime } = p , y ^ { \prime \prime } = p \frac { d p } { d y }$

（四）高阶线性微分方程

1、线性微分方程的解的结构

齐次方程： $y ^ { \prime \prime } + p ( x ) y ^ { \prime } + q ( x ) y = 0$ ...........（1）
非齐次方程： $y ^ { \prime \prime } + p ( x ) y ^ { \prime } + q ( x ) y = f ( x )$ .....（2）
定理1 如果y₁(x)和y₂(x)是齐次方程（1）的两个线性无关的特解，那么 $y = C _ { 1 } y _ { 1 } ( x ) + C _ { 2 } y _ { 2 } ( x )$ 就是（1）的通解
定理2 如果y是非齐次方程（2）的一个特解，y₁(x)和y₂(x)是齐次方程（1）的两个线性无关的特解，则 $y = C _ { 1 } y _ { 1 } ( x ) + C _ { 2 } y _ { 2 } ( x ) + y ^ { * }$ 是非齐次方程（2）的通解
定理3 如果y₁，y₂是齐次方程（2）的两个特解，那么 $y = y _ { 2 } ^ { * } - y _ { 1 } ^ { * }$ 是齐次微分方程（1）的解
定理4 如果y₁是 $y ^ { \prime \prime } + p ( x ) y ^ { \prime } + q ( x ) y = f _ { 1 } ( x )$ 的特解，y₂*是 $y ^ { \prime \prime } + p ( x ) y ^ { \prime } + q ( x ) y = f _ { 2 } ( x )$ 的特解，则 $y _ { 1 } ^ { * } + y _ { 2 } ^ { * }$ 是方程 $y ^ { \prime \prime } + p ( x ) y ^ { \prime } + q ( x ) y = f _ { 1 } ( x ) + f _ { 2 } ( x )$ 的一个特解

2、常系数齐次线性微分方程

$y ^ { \prime \prime } + p y ^ { \prime } + q y = 0$
特征方程 $r ^ { 2 } + p r + q = 0$
设r₁,r₂是方程两个根
1）不等实根r₁≠r₂： $y = C _ { 1 } e ^ { r _ { 1 } x } + C _ { 2 } e ^ { r _ { 2 } x }$
2）相等实根r₁=r₂=r： $y = ( C _ { 1 } + C _ { 2 } x ) e ^ { r x }$
3）共轭复根r_1,2=α±iβ： $y = e ^ { \alpha x } ( C _ { 1 } \cos \beta x + C _ { 2 } \sin \beta x )$

3、常系数非齐次线性微分方程

$y ^ { \prime \prime } + p y ^ { \prime } + q y = f(x)$
1、 $f ( x ) = e ^ { \lambda x } P _ { m } ( x )$
令 $y ^ { * } = x ^ { k } Q _ { m } ( x ) e ^ { \lambda x }$
2、 $f ( x ) = e ^ { \alpha x } [ P _ { L } ^ { ( 1 ) } ( x ) \cos \beta x + P _ { N } ^ { ( 2 ) } ( x ) \sin \beta x ]$
令 $y ^ { * } = x ^ { k } e ^ { \alpha x } [ R _ { m } ^ { ( 1 ) } ( x ) \cos \beta x + R _ { m } ^ { ( 2 ) } ( x ) \sin \beta x ] , m = m a x ( l , n )$

4、欧拉方程

$x ^ { n } y ^ { ( n ) } + a _ { 1 } x ^ { n - 1 } y ^ { ( n - 1 ) } + \cdots + a _ { n - 1 } x y ^ { \prime } + a _ { n } y = f ( x )$
解法：
令 $x = e ^ { t }$
则 $x ^ { k } y ^ { ( k ) } = D ( D - 1 ) \cdots ( D - k + 1 ) y$
其中 $D = \frac { d } { d t }$