一道递推数列极限题

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2020-02-01 15:08 被阅读0次

一道递推数列极限题
递推数列
求数列通项的特征根法
递推,递归及其优化
20. 递推数列
C++ 模板元编程计算Fibonacci
级数
Fibonacci数列
一道极限题
70.爬楼梯

设 $a_1=3,\,a_n=2a_{n-1}^2-1\;(n\geqslant2)$ ，
求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{2^na_1a_2\cdots a_{n-1}}$

Sol:
由 $a_1=3>1,\;a_n=2a_{n-1}^2-1$ 及数学归纳法得 $a_{n}>1.$

$\begin{aligned} a_{n}^2-1=&(a_{n}+1)(a_{n}-1)\\ =&2^2a_{n-1}^2(a_{n-1}^2-1)\\ =&2^4a_{n-1}^2a_{n-2}^2(a_{n-2}^2-1)\\ =&\cdots\\ =&2^{2n-2}a_{n-1}^2a_{n-2}^2\cdots a_{1}^2(a_1^2-1)\\ =&2^{2n+1}a_{n-1}^2a_{n-2}^2\cdots a_{1}^2\\ =&2(2^na_{n-1}a_{n-2}\cdots a_{1})^2 \end{aligned}$

$\therefore\displaystyle\dfrac{a_{n}^2-1}{(2^na_{n-1}a_{n-2}\cdots a_{1})^2}=2$
又 $\because a_{n}>1$
$\therefore\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{2^na_{n-1}a_{n-2}\cdots a_{1}}=0$

$\Rightarrow\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{(2^na_{n-1}a_{n-2}\cdots a_{1})^2}=0$
$\therefore\begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n^2}{(2^na_{n-1}a_{n-2}\cdots a_{1})^2}\\ =&\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n^2-1}{(2^na_{n-1}a_{n-2}\cdots a_{1})^2}+\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{(2^na_{n-1}a_{n-2}\cdots a_{1})^2}\\ =&2 \end{aligned}$

$\therefore\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{2^na_{n-1}a_{n-2}\cdots a_{1}}=\sqrt{2}$

一道递推数列极限题
设，求 Sol:由及数学归纳法得又
递推数列
如果数列的第项由它的前面若干项所确定,那么该数列就是一个递推数列事实上,等差数列与等比数列都是递推数列,它们满足的...
求数列通项的特征根法
概述递推公式描述了由数列中的已知项获得数列中新的项的方式，其中确定新的项所需要的已知的项目常被称作递推公式的阶数...
递推,递归及其优化
题目: 斐波那契数列定义为:f1=f2=1, fn=fn-1+fn-2求斐波那契数列的第n项 1.递推求解递推公...
20. 递推数列
题目描述给定a0,a1,以及an=pa(n-1) + qa(n-2)中的p,q。这里n >= 2。求第k个数对...
C++ 模板元编程计算Fibonacci
Leetcode 509 ( Fibonacci Number ) 是一道计算Fibonacci数列的简单题，解决...
级数
比式判别法根式判别法积分判别法交错级数判别法数列和级数从数列极限引到数列前n项和的极限。极限存在就收敛，...
Fibonacci数列
Fibonacci数列问题描述Fibonacci数列的递推公式为：Fn=F(n-1)+F(n-2)，其中F1=F...
一道极限题
在无穷处的洛朗级数为所以，所以，
70.爬楼梯
这是非常经典的一道题，可以递归，可以递推，下面总结了几种思路，具体思路都在代码及注释里。

一道递推数列极限题

相关文章

一道递推数列极限题

递推数列

求数列通项的特征根法

递推,递归及其优化

20. 递推数列

C++ 模板元编程计算Fibonacci

级数

Fibonacci数列

一道极限题

70.爬楼梯

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读