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浅谈交叉熵

浅谈交叉熵

作者: 武耀文 | 来源:发表于2019-03-17 17:30 被阅读0次

    一:定义

    交叉熵(cross entropy)是深度学习中常用的一个概念,一般用来求目标与预测值之间的差距。交叉熵是信息论中的一个概念,要想了解交叉熵的本质,需要先从最基本的概念讲起。

    假设XX是一个离散型随机变量,其取值集合为χχ,概率分布函数p(x)=Pr(X=x),x∈χp(x)=Pr(X=x),x∈χ,则定义事件X=x0X=x0的信息量为: image.png

    由于是概率所以p(x0)的取值范围是[0,1],绘制为图形如下:可见该函数符合我们对信息量的直觉


    image.png

    1.1熵

    另一个问题,对于某个事件,有n种可能性,每一种可能性都有一个概率p(xi),这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子,假设你拿出了你的电脑,按下开关,会有三种可能性,下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量。


    image.png
    现在有了信息量的定义,而熵用来表示所有信息量的期望,即: image.png
    其中n代表所有的n种可能性,所以上面的问题结果就是
    image.png

    然而有一类比较特殊的问题,比如投掷硬币只有两种可能,字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能,中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题(二项分布的特例),对于这类问题,熵的计算方法可以简化为如下算式:


    image.png

    1.2:相对熵

    相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x),我们可以使用 KL 散度(Kullback-Leibler (KL) divergence)来衡量这两个分布的差异.

    维基百科定义:In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.
    即如果用P来描述目标问题,而不是用Q来描述目标问题,得到的信息增量。

    在机器学习中,P往往用来表示样本的真实分布,比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布,比如[0.7,0.2,0.1] 。直观的理解就是如果用P来描述样本,那么就非常完美,而用Q来描述样本,虽然可以大致描述,但是不是那么的完美,信息量不足,需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练,也能完美的描述样本,那么就不再需要额外的“信息增量”,Q等价于P。
    KL散度的计算公式:


    image.png

    n为事件的所有可能性,DKL的值越小,表示q分布和p分布越接近。

    1.3 交叉熵

    由上面公式可以推出:


    image.png

    等式的前一部分恰巧就是p的熵,等式的后一部分,就是交叉熵:

    image.png
    在机器学习中,我们需要评估label和predicts之间的差距,使用KL散度刚刚好,即DKL(y||y^),由于KL散度中的前一部分−H(y)不变,故在优化过程中,只需要关注交叉熵就可以了。
    所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss,评估模型。

    二:交叉熵的应用

    三:总结

    3.1 参考

    https://www.zhihu.com/question/65288314/answer/244557337
    https://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence
    https://jamesmccaffrey.wordpress.com/2013/11/05/why-you-should-use-cross-entropy-error-instead-of-classification-error-or-mean-squared-error-for-neural-network-classifier-training/
    https://www.zhihu.com/question/41252833/answer/195901726

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