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sinx=2的解法

sinx=2的解法

作者: hk_shao | 来源:发表于2020-02-26 09:00 被阅读0次
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    【CSDN平台停更,请移往知乎或者我的blog】 https://hk-shao.github.io/ https://www.zhihu.com/people/shao_feng](https://blog.csdn.net/hk_shao/article/details/104381458)
    记得我很早之前就打算做一些科普视频,奈于技术不行,遂放弃。之前看过3Blue1Brown的视频,作者用他自己开发的数学可视化引擎manim制作动画,感觉效果很棒。发现知乎和B站陆陆续续有很多大佬开始使用manim做动画,于是进了一个manim交流群。开始摸索manim,实际上这个引擎的安装和环境的的搭建还挺麻烦,用manim也需要会Python和,恰好我都会,于是很快上手了。

    我以为有这个引擎做数学动画很简单,但是出乎我意料,还是要不停地肝,动画的构架想好了,实现起来还是非常麻烦,这个过程及其无聊和痛苦。最后赶了一下进度,视频还是做出来了,但是有些瑕疵让我这个强迫症很不爽。

    有了前面剪AMV的的经验,我很快就把视频剪好,加上动态水印,渲染,发布到B站。

    视频链接:https://www.bilibili.com/video/av91565323/

    进入正题

    我们高中学过 \sin x 的值域是 [-1,1],画作图像的话,波浪线在 [-1,1] 之间往复,但是怎么会与 2 有交点呢?

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    答案是:当然没有。\sin x=2 没有实数解,但是如果看作复变函数,x\in\mathbb{C} 时,将 \sin x 泰勒展开,它有无穷高次冥,按照代数基本定理, \sin x=2 是有无穷多解的!事实确实如此,下面是及其详细的求解过程,高中生都可以看懂,我就不文字叙述了。
    \sin x=2\\\ e^{ix}=\cos x+i\sin x\\\ e^{-ix}=\cos x-i\sin x\\\ e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x\\\ \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\\ \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=2\\\ e^{ix}-e^{-ix}=4i\\\ t=e^{ix}\\\ t-\frac{1}{t}=4i\\\ t^2-4it-1=0\\\ t=(2\pm\sqrt3)i\\\ e^{ix}=(2\pm\sqrt3)i\\\ {\rm Ln}(e^{ix})={\rm Ln}[(2\pm\sqrt3)i]\\\ ix=\ln(2\pm\sqrt3)+{\rm Ln}\ i\\\ i\theta={\rm Ln}\ i\\\ e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta\\\ \cos \theta+i\sin \theta=e^{\rm{Ln \ i}}=i\\\ \begin{cases}\cos \theta=0\\\sin \theta=1\end{cases}\\\ \theta=(\frac{4k+1}{2})\pi,k\in \mathbb{Z}\\\ {\rm Ln}\ i=i\theta=i\pi(\frac{4k+1}{2})\\\ ix=\ln(2\pm\sqrt3)+i\pi(\frac{4k+1}{2})\\\ x=(\frac{4k+1}{2})\pi-i\ln(2\pm\sqrt3),k\in \mathbb{Z}\\\

    最后

    笔者将全力迎接高考,屏蔽一切外界讯息。

    所有高考生们,一起加油啊!

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