A字型相似三角形的应用

前天，我给大家介绍了相似三角形的概念，并利用相似三角形解了一道题。

今天，再介绍一种特殊的相似三角形：A字型。主要有三种：一是正A字型，DE//BC；二是斜A字型，∠1=∠B；三是母子型，截线段的一个点与三角形的一个顶点重合。

它们都有共同的结论：△ADE∽△ABC，AD/AB=AE/AC=DE/BC。

我们一起来看一道题。

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，求CD的长。

我们来分析一下这道题，∠ACB=90°，EF⊥AC于点F，所以EF//DC，构成了一组正A字型相似三角形，△AEF∽△AFC。

可以推知：AE/AD=EF/CD。

由EG⊥EF交AB于点G，可知EG//AC。

如果我们过D点作DH//AC，就可得到另两组A字型相似三角形，△ADG∽△AEG和△BDG∽△BCA。

由△ADG∽△AEG，可推知AE/AD=EG/DG。

因为AE/AD=EF/CD，且AE/AD=EG/DG。可推知：EG/DG =EF/CD。

又因为EF=EG，可推知DG =CD。

由△BDG∽△BCA，可推知BD/BC=DG/CA。

变形后得到AC×BD=BC×DG。

因为AC=6，BC=12，CD=DG，BD=12-CD，上式可以变形为：6×（12-CD）=12×CD

可得CD=4。

这是我的解题步骤，期待您有更简便的方法。