模型之相似三角形

相似三角形指的是形状相同，大小不同的两个三角形。相似三角形的对应角相等，对应边成比例（其比值即为相似比）。若两个三角形的两组对应角相等/两边对应成比例且夹角相等/三边对应成比例，则它们相似。

相似三角形的性质和判定方法很容易理解，但真正利用此攻克问题还是需要将理论应用于实战中。在解决综合问题的过程中，若能够从复杂图形中，抽象出相似三角形，将已知和未知建立联系，则对于解决线段的长度问题或者角度问题具有重要的意义。

相似三角形的九大模型：①A字型；②反A型；③斜8型；④蝴蝶8型；⑤共角共边模型；⑥摄影定理模型；⑦三垂直模型；⑧一线三等角模型；⑨手拉手模型。

对于相似模型，首先我们需要清楚其基本图形，条件和结论是什么，注意两个三角形的对应是如何对应的，比如：斜8型和蝴蝶8型，它们的本质不同在何处等。另外，在解决问题中，有什么基本的思维路径，比如：射影定理模型中，我们通常还会利用“等面积法”求斜边上的高，利用射影定理中的结论，对其中的六条线段知二求四；若是直角三角形，我们也可以将其转化为锐角三角函数来求解线段的长度；在蝴蝶模型中，暗含着“四点共圆”，在证明角度相等时利用“四点共圆”就避免了多次证明相似的繁琐，简化解题步骤（如下图中的证明题）；

在求线段长度的复杂问题中，通常也会通过做辅助线构造相似三角形去解决问题，涉及到添加辅助线，也并非盲目地去添加，一定要结合所求线段的位置特点以及线段从何而来进行去思考，通过作辅助线建立逻辑的桥梁，从而打通解题思路。比如下面的问题：

这个问题中求DF的长度，其中D是一个固定的点，关键是点F。那么F从何而来呢，它是直角边BC的中点E和点A连接，与CD的交点。那么我们的突破口就从点E突破！（试想，若E的位置变动，那么DF的长度也会有所变化。）根据这一分析，不难思考出添加辅助线的方法就是：过点E作EH⊥AB于点H。不断利用射影定理模型和A字模型相似，即可求解（思路见上图黄色区域内容）。另外，在求线段的长度的时候当然也可以选择勾股定理/三角函数的方法求解。当然，这个问题，作辅助线的方法也不唯一，也可以过点F作FM⊥AC于点M进行求解（求DF的长度，从关键点点F入手构建A字相似模型建立联系），解题过程如下：

涉及三角形相似的考点往往是中考的重中之重，它也是增强试卷区分度的一个重要内容，若能够在学习中用模型武装头脑，提升解题思维，我想对于此类问题的突破一定可以达到事半功倍的效果的。