如何利用SPSSAU拟合非线性回归模型？

作者: spssau | 来源:发表于2021-10-29 15:21 被阅读0次

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四、正则化

如果数学模型为非线性关系，比如人口学增长模型Logistic（S模型），其模式公式为：y = b1 / (1 + exp(b2 + b3 * x))，其中y为人口数量，x为年份（实际数据为第n年，数字从0年起，依次顺序增加），b1，b2和b3分别为三个估计参数，exp为自然指数的意思。此数学表达式并非线性表达式，因此不能使用SPSSAU的线性回归进行拟合。

诸如此类非线性关系（即不是直接关系）的非线性模型，可使用非线性回归进行研究。SPSSAU当前提供约50类非线性函数表达式，涵盖绝大多数非线性函数表达式。

备注：图中出现的b1,b2,b3等代表待估计参数；exp表示自然指数，ln表示自然对数，cos表示余弦函数；“**”表示指数的意思。

进行非线性回归模型构建时，通常分为三步：

第一步：首先需要结合专业知识选择正确的构建模型，比如人口增长预测时使用logistic模型，经济学研究的抛物线二次曲线模型等。

第二步：设置参数初始值；与线性回归不同，非线性回归模型数学原理上使用迭代思想计算参数估计值，因而对初始值的不同设置，很可能会导致不同的结果，因而初始值设置较为重要，其可使用模型求解更为精确，并且有助于模型快速迭代收敛。关于初始值的设置在案例中有更详细说明。

第三步：模型预测。在得到参数拟合值后，并且拟合效果在认可范围内时，那么可使用模型进行预测数据，输入X的数据信息，对应得到Y的预测值。

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1978~2016共计39年我国人口数据，当前希望建立人口数量logistic模型（S模型），通常建立人口数量模型后，可为人口数据预测提供建议。案例数据如下：

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Logistic模型函数表达式为：y = b1 / (1 + exp(b2 + b3 * x))，其中y为人口数量，x为‘第N年’（起始1978年为数字0，1979为数字1，依次下去），b1，b2和b3分别为三个估计参数，exp为自然指数的意思。其中b1的实际意义为渐近线，即Y（人口）无限接近的数字。

自然的想到，人口最多在14亿左右，因而b1的初始值可设置为数字14。至于b2和b3这两个参数值，代入特殊点，即第0年，即x=0时，y=9.6259，可先计算出b2值为-0.79，接着基于b1,b2,b3，并且代入第1年这一特殊点数据，计算得到b3约为-0.042，因此就得到3个参数对应的初始值。当然不进行设置也可以，并没有固定要求，如果不设置，SPSSAU默认以数字1作为初始值，如果不设置，有可能出现计算结果不理想。

特别提示：

初始值的设置上并不固定要求，通常可结合模型的实际意义和实际数据情况进行设置，比如本案例中最大人口数量为14亿；与此同时，还可结合数据特殊点的特殊特征代入计算得到一个大概的初始值；比如本案例时分别代表x为0或1这两个特殊点，分别计算得到参数的初始值。
如果不设置初始值，SPSSAU默认以数字1作为初始值。

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本例子SPSSAU操作截图如下：

注意如下：

首先选择正确的非线性函数（即模型），函数公式处会展示出该模型对应的函数公式（即模型表达式），选择对应的因变量和自变量数据，设置好参数后点击分析即可。
参数的初始值上，如果没有把握，一般直接不设置就好，但建议针对初始值进行设置；
参数的上下界通常不需要进行设置，除非有较大的把握。比如本案例的人口初始值为14亿，那么下界可设置为10，上界可设置为20。

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SPSSAU输出3个表格，1个图形和模型预测，分别如下说明。

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上表格展示输入的模型初始参数值，如果没有设置过初始值，默认初始值为1。

上表格展示出3个参数的估计值，如果涉及模型中各参数的专业意义，比如本案例中参数b1代表当前拟合模型的渐近线值，否则无其它特殊的意义，其目的仅为了得到数学上的估计模型表达式，用于进一步预测使用等。如果说p值小于0.05则说明参数具有统计学意义（也或者95%置信区间不包括数字0），如果各个参数均具有统计学意义，一般也可从侧面说明模型拟合效果较好。