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怎么判断函数奇偶性

怎么判断函数奇偶性

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-06-30 20:40 被阅读0次
函数奇偶性的判断

使用情景：一般函数类型
解题步骤：
第一步 确定函数的定义域；
第二步 判断其定义域是否关于原点对称；
第三步 若是，则确定f(x)与f(-x)的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
第四步 得出结论.

例 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=\sqrt{9-x^2}+\sqrt{x^2-9}

(2)f(x)=(x+1)\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}

(3)f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{|x+3|-3}

解：(1)由\begin{cases}9-x^2 \geqslant 0 \\x^2-9 \geqslant 0 \end{cases}，得x=\pm 3

\therefore f(x)的定义域为\{-3,3\}，关于原点对称

又f(3)+f(-3)=0，f(3)-f(-3)=0，

即f(-x)=\pm f(x)。

\therefore f(x)既是奇函数，又是偶函数.

(2)由\begin{cases}\dfrac{1-x}{1+x} \geqslant 0 \\1+x \neq 0\end{cases}，得-1<x \leqslant1，

\because f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称.

\therefore f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(3)由\begin{cases}4-x^2 \geqslant 0 \\|x+3|-3 \neq 0 \end{cases}，得-2 \leqslant x \leqslant 2且x \neq 0

\therefore f(x)的定义域为[-2,0) \cup (0,2]，关于原点对称.

\therefore f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{(x+3)-3}=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x}

\therefore f(-x)=\dfrac{\sqrt{4-(-x)^2}}{-x}=-\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x}=-f(x)

\therefore f(x)是奇函数.

【注意】确定函数的奇偶性时，必须先判定函数的定义域是否关于原点对称.若对称，再验证f(-x)=\pm f(x)或其等价形式f(-x)\pm f(x)=0是否成立.

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