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本文介绍了支持向量机SVM的基本原理，并且通过2个示例介绍了SVM二维决策边界的表示方法，以及通过SVM分离非线性坐标点，并绘制轮廓曲线。
目录
支持向量机SVM简介及示例演示
【关键词】支持向量，最大几何间隔，拉格朗日乘子法
1. 支持向量机的原理
支持向量机（Support Vector Machine），其含义是通过支持向量运算的分类器。其中“机”的意思是机器，可以理解为分类器。
那么什么是支持向量呢？在求解的过程中，会发现只根据部分数据就可以确定分类器，这些数据称为支持向量。
见下图，在一个二维环境中，其中点R，S，G点和其它靠近中间黑线的点可以看作为支持向量，它们可以决定分类器，也就是黑线的具体参数。
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2. 解决的问题
- 线性分类
在训练数据中，每个数据都有n个的属性和一个二类类别标志，我们可以认为这些数据在一个n维空间里。我们的目标是找到一个n-1维的超平面（hyperplane），这个超平面可以将数据分成两部分，每部分数据都属于同一个类别。
其实这样的超平面有很多，我们要找到一个最佳的。因此，增加一个约束条件：这个超平面到每边最近数据点的距离是最大的。也成为最大间隔超平面（maximum-margin hyperplane）。这个分类器也成为最大间隔分类器（maximum-margin classifier）。
支持向量机是一个二类分类器。
- 非线性分类
SVM的一个优势是支持非线性分类。它结合使用拉格朗日乘子法和KKT条件，以及核函数可以产生非线性分类器。
3. SVM解决问题的步骤
1.SVM的目的是要找到一个线性分类的最佳超平面 f(x)=xw+b=0。求 w 和 b。
2.首先通过两个分类的最近点，找到f(x)的约束条件。
3.有了约束条件，就可以通过拉格朗日乘子法和KKT条件来求解，这时，问题变成了求拉格朗日乘子αi 和 b。
4.对于异常点的情况，加入松弛变量ξ来处理。
非线性分类的问题：映射到高维度、使用核函数。
3.1 线性分类及其约束条件
SVM的解决问题的思路是找到离超平面的最近点，通过其约束条件求出最优解。
在这里插入图片描述
3.2 最大几何间隔（geometrical margin）
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
3.3 求解问题w,b
我们使用拉格朗日乘子法
来求w和b，一个重要原因是使用拉格朗日乘子法后,还可以解决非线性划分问题。
拉格朗日乘子法可以解决下面这个问题：
在这里插入图片描述
消除w之后变为：
在这里插入图片描述
可见使用拉格朗日乘子法后，求w,b的问题变成了求拉格朗日乘子αi和b的问题。
到后面更有趣，变成了不求w了，因为αi可以直接使用到分类器中去，并且可以使用αi支持非线性的情况.
4. 实战示例
1、示例1：画出SVM二维决策边界
import numpy as np
from sklearn.svm import SVC
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
随机生成一些数据
a = np.random.randn(20,2) + [2,2]
b = np.random.randn(20,2) + [-1,-3]
data = np.concatenate([a,b])
data.shape
(40, 2)
# 将数据点分为2类，一类20个点
target = [0]*20 + [1]*20
plt.scatter(data[:,0],data[:,1],c=target)
<matplotlib.collections.PathCollection at 0x1e4a3106668>
在这里插入图片描述
# 创建支持向量机分类器
svc = SVC(kernel="linear")
svc.fit(data,target)
SVC(C=1.0, cache_size=200, class_weight=None, coef0=0.0,
decision_function_shape='ovr', degree=3, gamma='auto', kernel='linear',
max_iter=-1, probability=False, random_state=None, shrinking=True,
tol=0.001, verbose=False)
# 找到支持向量
sv = svc.support_vectors_
sv
array([[ 0.47403487, 1.35490312],
[ 2.76462572, -0.35759099],
[ 0.70116275, -2.38879174]])
# 提取斜率:svc.coef_
# mx + ny + b = 0 ==> ny = -mx - b ==> y = -(m/n)x - b/n
w = -svc.coef_[0,0]/svc.coef_[0,1]
w
-0.747621114673942
# 提取截距:svc.intercept_
b = -svc.intercept_[0]/svc.coef_[0,1]
b
-0.07777143534587211
x = np.linspace(-3,6,100)
# 直线方程
y = w*x + b
plt.scatter(data[:,0],data[:,1],c=target)
plt.scatter(sv[:,0],sv[:,1],c="r",s=300,alpha=0.5)
plt.plot(x,y)
[<matplotlib.lines.Line2D at 0x1e4a0fd2d30>]
在这里插入图片描述
上图中，
红色的点表示支持向量，直线表示SVM的决策边界。
2、示例2：SVM分离非线性坐标点
2.1 产生非线性随机点
# 随机产生180个点
data = np.random.randn(180,2)
plt.scatter(data[:,0],data[:,1])
<matplotlib.collections.PathCollection at 0x1e4a4b0fbe0>
在这里插入图片描述
a = np.array([[1,2],[-1,2],[-1,-1],[1,-4]])
target = np.logical_xor(a[:,0]>0,a[:,1]>0)
target
array([False, True, False, True])
# 通过异或方式，产生非线性分类目标点
target = np.logical_xor(data[:,0]>0,data[:,1]>0)
target
array([False, True, True, True, False, True, False, False, False,
True, True, True, False, True, False, True, True, False,
True, True, False, True, False, True, False, True, False,
False, False, False, False, False, True, True, True, True,
False, False, True, False, True, True, True, False, True,
True, True, False, True, False, False, True, False, True,
True, True, False, True, False, False, False, False, True,
True, False, True, True, False, False, False, True, False,
False, True, False, True, False, True, True, False, False,
True, True, False, True, False, False, False, True, False,
False, False, False, True, True, False, False, True, True,
False, True, False, False, True, False, True, False, False,
False, False, True, True, True, True, False, True, True,
True, False, True, True, True, False, True, True, False,
False, True, False, True, True, True, True, False, True,
True, True, True, False, True, True, True, False, False,
False, True, True, True, False, False, False, True, False,
True, True, False, True, False, False, True, True, True,
True, True, True, False, True, False, True, False, True,
False, True, True, True, False, True, False, True, False])
np.logical_xor的作用示例
a = np.array([[1,2],[-1,2],[-1,-1],[1,-4]])
target = np.logical_xor(a[:,0]>0,a[:,1]>0)
target结果为：array([False, True, False, True])
plt.scatter(data[:,0],data[:,1],c=target)
在这里插入图片描述
2.2 构建SVM模型并训练
svc = SVC() # SVC的核函数默认为rbf，基于半径的核函数
svc
SVC(C=1.0, cache_size=200, class_weight=None, coef0=0.0,
decision_function_shape='ovr', degree=3, gamma='auto', kernel='rbf',
max_iter=-1, probability=False, random_state=None, shrinking=True,
tol=0.001, verbose=False)
svc.fit(data,target)
SVC(C=1.0, cache_size=200, class_weight=None, coef0=0.0,
decision_function_shape='ovr', degree=3, gamma='auto', kernel='rbf',
max_iter=-1, probability=False, random_state=None, shrinking=True,
tol=0.001, verbose=False)
2.3 绘制轮廓曲线
# 确定轮廓曲线的范围
xx,yy = np.meshgrid(np.linspace(-3,3,500),np.linspace(-3,3,500))
xy = np.c_[xx.ravel(),yy.ravel()]
xy.shape
(250000, 2)
# 求测试点到分割超平面之间的距离
distances = svc.decision_function(xy)
distances.shape
(250000,)
plt.contour(xx,yy,distances.reshape(xx.shape),cmap="PuOr_r")
plt.scatter(data[:,0],data[:,1],c=target)
<matplotlib.collections.PathCollection at 0x1e4a46c2518>
在这里插入图片描述
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