HP趋势滤波：
其中，y是真实的时间序列，x是估计的时间序列，D矩阵表示如下：
D矩阵
L1趋势滤波：
区别在于第二项，从二范数改成了一范数。
代码实现，利用cvxpy包：
solver = cvxpy.CVXOPT
reg_norm = 2
x = cvxpy.Variable(shape=n)
# x is the filtered trend that we initialize
objective = cvxpy.Minimize(0.5 * cvxpy.sum_squares(y-x)
+ lambda_value * cvxpy.norm(D@x, reg_norm))
# Note: D@x is syntax for matrix multiplication
problem = cvxpy.Problem(objective)
problem.solve(solver=solver, verbose=False)
HP趋势滤波
L1趋势滤波
对比可以发现，L1趋势滤波更能保持原有数据的极值点。
【参考资料】Introduction to Trend Filtering with Applications in Python
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