实变函数-重读

两年前，我就尝试去看实变函数，结果，处处碰壁，几乎一无所获。

近几个月，重新去看，发现很多概念可以理解了，许多定理的证明也能看下去了。

这样的变化是从何而来呢？能否作为一种经验指导类似的情况呢？

问题一：当初为何放弃？

原因有很多：

首先，教材原因，当时用的是周民强版本的课本，难度大，跳跃大，许多基础概念不加解释，需要前置课程，不适合自学。这个我之前也提到过。这是主要原因。

然后，基础知识不过关，当时的水平可以说是很差，数学知识还是仅限于大学普通数学的程度，高数，线代，概率，说实话，而且掌握的也不好。这是远远不够的。这是根本原因。

最后，数学思想还比较初级，学习的过程寻求直观性，可视化理解，对于抽象定义，抽象规则缺乏认识与理解。这可以说是直接原因了。

当时，我充满自信，却是不断碰壁。

在集合论基础，就遇见了拦路虎，什么集合列，上限集，下限集，这些概念的定义对于只具有普通数学水平的人而言，可谓极为抽象。因为它是不能用几何图像理解的，需要高一层次的概念图像来帮助理解。

卡在这几天之后，决定暂时跳过继续往下看，结果就又碰上问题了，收敛，聚点，开集，闭集。这些看上去很熟悉，却又十分陌生的概念，高数中仅仅提到而不讨论性质，甚至可以说是一无所知。于是，又停下了脚步。

但我比较头铁，还是继续往下看，开覆盖，紧集，第一纲集，第二纲集，讲得都是什么玩意？这真的无能为力，理解不能。

不管了，还是继续看，结果，上来凭空给一波测度的定义，什么非负，可数可加啦。这不是在逗我吗？这确实是没办法继续下去了。所以放弃了。

这确实也怪不得我，自信而来，失望而归。也只能说初生牛犊不怕虎，仅凭一股冲劲是搞不定数学书的。

问题二：从看不懂到能看懂，转折发生在什么地方？

这个确实是很有意思的问题，因为这是可以感知的进步，在搁置时期，看了许许多多的书，像是张量分析，经典力学，数论初步，量子力学，泛函分析，抽象代数，点集拓扑，代数拓扑，范畴论，虽然列出了这么多的书目，但是，这些都是浅尝而止，看过就忘，精力如此分散，是很难学到东西的。不过，看书不过是消遣，即便是专业书籍，同看视频，看小说也并无二致，也并不是为了去学习东西，只是想要稍微了解一下科学的发展。不过虽然收获很少，也是有所收获的，这些书有抽象的，有具体的，花了很长时间慢慢感受到一种风格，抽象数学的魅力，数学不再是对现实的反映，而是一种自洽的结构，即便世界消失了，它自然可以存在着。这大概就是一种无与伦比的魅力。其他的学科总是聚焦在我们生活的环境，添加了各种各样的限制条件。而数学不需要这些。

这大概就是最关键的转折了，认识到数学的极端抽象性，与现实分离，同具体分割。是逻辑自洽的产物，与具体事物无关。

在这之后，有幸拜读Rudin的数学分析原理，这才慢慢理解一些概念与定理。之所以想法转变放在前面，是因为没有这个转变，那么Rudin的书是读不下去的，那是概念的定义与演绎，与现实对象是完全脱节的。

关于抽象，最感谢的还是范畴论，它完美演绎了什么才是极端抽象，范畴论中的一个模型对应着许许多多的不同的数学模型，每一个数学模型又对应着无数的现实模型。似乎暗示了一个终极模型，推出了整个的概念世界，虽然是不可能的，但确实让人心驰神往。没有人能拒绝绝对真理的诱惑。

问题三：有何经验？

要多看，要多想，还有最关键的是要有耐心，要提供足够的时间来消化，一种想法的生成需要许多时间，不能违背客观规律，一两年时间看上去很长，可是，要理解一些东西，还真的算不得长。

多看多想，这已经达到了，所以，对现在而言，经验就是不要急，不能急，在追求知识速成的大环境中，要有足够的定力，方法可能短时间就可以掌握，但想法的转变需要足够长的时间。