1. DDPM的训练过程

Diffusion model的训练，即noise predictor的训练

训练即重复下面的过程直至收敛：

#2：取一张干净图片作为样本 $x_0$
#3：从1到T之间sample出 $t$
#4：生成噪声 $\epsilon$ （shape和 $x_0$ 相同）
#5：将噪声 $\epsilon$ 叠加到 $x_0$ ，让noise predictor尽量准确地估计噪声。
红色框内将 $x_0$ 和 $\epsilon$ 做带权的叠加得到一个带噪声的图片，权重 $\overline{\alpha}_t$ 是事先定义的（由 $t$ 指定）； $\epsilon_\theta$ 是noise predictor，它以混入噪声的latent和 $t$ 为输入，估计当前图片中的噪声（噪声的ground truth即前一步生成的噪声）。

注意，实际在DDPM方法的训练过程中，噪声并不是一步一步加入的，而是一次性加入的。

2. DDPM的推理过程

#1：生成一个纯噪声的图 $x_T$
#2~#4：重复 $T$ 步去噪过程，（有一些预先定义的仅和 $t$ 相关的系数），当前的图片减去预测的噪声再加上这一步的随机噪声 $z$ ，得到新的图片。
DDPM的推理

上述过程的合理性见李宏毅老师的数学推导（分集2、3）和猜测（分集4）。

部分数学推导

给模型 $\theta$ 一个随机噪声 $z$ ，我们希望 $\theta$ 能输出一个尽量真实的图像 $x$ 。 $\theta$ 生成的图像的分布应该尽量接近真实图像的分布。如下图，我们通过极大似然估计(Maximum Likelihood Estimation)来达到这个目的， $P_{\theta}(x)$ 表示生成图片的分布， $P_{data}(x)$ 表示真实图片的分布。
从 $P_{data}(x)$ 中sample数据其实就是收集真实的图片。

我们计算真实图片 $x^i$ 为生成图片的概率 $P_{\theta}(x^i)$ ，我们的目标是得到让真实图片被认为是生成图片的概率最大的模型 $\theta^*$ 。

通过极大似然估计找出最好的模型

第2个=，取log不影响argmax
第4个=，m足够大，期望的定义
不断取真实图像 $x$ ，计算 $log P_{\theta}(x)$ 的期望
第5个=，关于X的随机变量 $log P_{\theta}(X)$ 期望的计算（取 $x$ 的概率乘上 $log P_{\theta}(x)$ 做积分）。后一项是真实分布的期望，与 $\theta$ 无关，不影响argmax，减去它是为了凑KL散度。

优化目标的推导
极大似然估计的结果等价于最小化KL散度。所以，优化目标直接设置为极大似然，就相当于让生成数据的分布尽量接近真实数据了。
VAE对 $P_{\theta}(x)$ 的计算
对于某个图片 $x_i$ ，它被 $\theta$ 生成出来的概率是 $\int_z {P(z) P_{\theta}(x_i|z)}$ 。 $P(z)$ 是容易算的， $z$ 可以是从高斯分布sample出来的。但 $P_{\theta}(x_i|z)$ 若定义为“当且仅当输入 $z$ 恰好让 $\theta$ 生成了 $x$ 则为1，否则为0”，那可能算出来的 $P_{\theta}(x_i|z)$ 几乎都是0。所以VAE做了一个假设：