2019/03/06

《牛津通识读本：数学》

第三章 证明 第四章 极限与无穷

从根号2的无理性、黄金分割比（根号5）的无理性的证明出发，引出了数学归纳法原理，也简称它为归纳法。通俗地讲，它所说的其实就是，如果你有一列无穷多的陈述序列想要证明，那有一种办法：证明第一条为真，并且每一条都蕴含下一条。

而这些证明内容，也说明了数学论证中的每一步都可以分解成更小的，因而也更加清晰有据的子步骤。这些小步骤又可以进一步分解为子子步骤，等等。数学中有个根本性的重要事实，那就是这样的过程最终必然会终止。原则上，如果不断地将步骤分解为更小的步骤，你最终会得到一条非常长的论证，它以普遍接受的公理开始，仅通过最基本的逻辑原则一步步推进，最终得到想要求证的结论。这一发现对数学产生了深远的影响，因为它意味着，任何关于数学证明有效性的争论总是能够解决的。争论在原则上必然能够解决这一事实的确使数学独一无二。没有任何一个学科像数学一样具有这一特性。

书中对于“为什么我们应该接受数学家提出的公理呢？”这个问题，给出了这样的答案：

比方说，如果有人反对数学归纳法原理，我们应当怎样回应呢？大多数数学家会给出如下的答复。首先，所有理解了归纳法的人应该都认为它是显然合理的。其次，公理系统的主要问题并不是公理的真实性，而是公理的自洽性和有用性。数学证明实际上所做的正是要表明，由特定前提——如数学归纳法，能够得到特定的结论——如[插图]是无理数。这些前提假设是否正确则是与此完全无关的问题，我们可以安然地把它们留给哲学家。

这也算是说明了哲学家和数学家关于同一个问题的不同做法。

极限与无穷

出于种种原因，无穷这一概念在数学中必不可少，但却很难严格化。将涉及无穷的陈述单纯解读为一种生动的简化，其所指的乃是一条不涉及无穷的累赘得多的陈述。

关于无穷的简洁陈述是“x是平方等于2的无穷小数”。可以大致翻译成：“有这样一种规则，对任意n，它能够切实地给出x的前n位数字。这使我们能够算出任意长的有限小数，它们的平方接近于2，只要算得足够长，想要有多接近就能有多接近。”

在不提及无穷的情况下，要定义无穷小数的加法和乘法是很难的，而且我们还必须检查这个复杂的定义遵从第二章中列出的那些规则，诸如交换律和结合律。但是，一旦给出了这个定义，我们就可以再次无拘无束地进行抽象思考。关于x，重要的是它的平方等于2。关于“平方”一词，重要的是它的含义以某种乘法定义为基础，这种定义遵循着恰当的规则。x的第一万亿位是什么并不是真正紧要的，乘法的定义有多复杂也不真正紧要。

无穷可以借由有穷的情况来理解。