Euler 积分

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-12-29 17:23 被阅读0次

Beta 函数

形如

$\displaystyle \text{B}(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\text{d}x$

的含参变量积分称为 Beta 函数，或 第一类 Euler 积分。

Beta 函数 $\text{B}(p,q)$ 的定义域为 $(0,+\infty)\times(0,+\infty)$

性质

1 连续性

$\text{B}(p,q)$ 在 $(0,+\infty)\times(0,+\infty)$ 上连续.

2 对称性

$\text{B}(p,q)=\text{B}(q,p),\;p>0,\;q>0$

3 递推公式

$\text{B}(p,q)=\dfrac{q-1}{p+q-1}\text{B}(p,q-1),\;p>0,\;q>1$

可由对称性与递推公式得到，
当 $p>1,\;q>1$ 时，有

$\text{B}(p,q)=\dfrac{(p-1)(q-1)}{(p+q-1)(p+q-2)}\text{B}(p-1,q-1)$

其他表示

1

作变量代换 $x=\cos^2\varphi$ ，得到

$\text{B}(p,q)=2\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos^{2p-1}\varphi\sin^{2q-1}\varphi\;\text{d}\varphi$

易知

$\text{B}\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)=\pi$

2

作变量代换 $x=\dfrac{1}{1+t}$ ，得到

$\begin{aligned} \text{B}(p,q)=&\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}\text{d}t\\ =&\int_0^{1}\dfrac{t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}\text{d}t+\int_1^{+\infty}\dfrac{t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}\text{d}t \end{aligned}$

对后一个积分作变量代换 $t=\dfrac{1}{u}$ ，得到

$\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}\text{d}t=\int_0^1\dfrac{u^{p-1}}{(1+u)^{p+q}}\text{d}u$

于是

$\displaystyle\text{B}(p,q)=\int_0^1\dfrac{t^{q-1}+t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}\text{d}t$

Gamma 函数

形如

$\displaystyle\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\text{d}x$

的含参变量积分称为 Gamma 函数 或 第二类 Euler 积分.

$\Gamma(s)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$

性质

1 连续性与可导性

$\Gamma(s)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续且任意阶可导.

$\displaystyle\Gamma^{(n)}(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}(\ln x)^n\text{d}x,\quad s>0$

2 递推公式

$\Gamma(s)$ 满足

$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s),\quad s>0.$

特别地，当 $s=n$ 为整数时，易知

$\displaystyle\Gamma(1)=\int_0^{+\infty}e^{-x}\text{d}x=1$

$\Rightarrow\Gamma(n+1)=n!$

$\displaystyle\Gamma(s)=\dfrac{\Gamma(s+1)}{s}$

$\displaystyle\lim_{s\to0}\Gamma(s)=+\infty$

3 其他表示

1

作变量替换 $x=t^2$ ，得到

$\displaystyle\Gamma(s)=2\int_0^{+\infty}t^{2x-1}e^{-t^2}\text{d}t$

容易得到

$\displaystyle\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\text{d}t=\sqrt{\pi}$

2

作变量代换 $x=\alpha t(\alpha>0)$ ，得到

$\displaystyle\Gamma(s)=\alpha^s\int_0^{+\infty}t^{s-1}e^{-\alpha t}\text{d}t$

4 定义域的延拓

由于等式

$\Gamma(s)=\dfrac{\Gamma(s+1)}{s}$

的右边在 $(-1,0)$ 上有定义，则可以用上式等一左边函数 $\Gamma(s)$ 函数在 $(-1,0)$ 上的值。同样的根据在 $(-1,0)$ 上定义的值，定义 $\Gamma(s)$ 在 $(-2,-1)$ 上的值，不断如此，则可以把 $\Gamma(s)$ 的定义域延拓到

$(-\infty,+\infty)\setminus\{0,-1,-2,-3,\cdots\}$

上。

定理一

$\displaystyle\text{B}(p,q)=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)},\quad p>0,\quad q>0.$

证明：

由于

$\displaystyle\Gamma(p)=2\int_0^{+\infty}t^{2p-1}e^{-t^2}\text{d}t$
$\displaystyle\Gamma(q)=2\int_0^{+\infty}t^{2q-1}e^{-t^2}\text{d}t$

取 $\Omega=\{(s,t)|0\leqslant s<+\infty,\;0\leqslant t<+\infty\}$ ，利用化反常重积分为累次积分的方法得到

$\begin{aligned} \Gamma(p)\Gamma(q) =&4\int_0^{+\infty}s^{2p-1}e^{-s^2}\text{d}s\int_0^{+\infty}t^{2q-1}e^{-t^2}\text{d}t\\ =&4\underset{\Omega}{\iint}s^{2p-1}e^{-s^2}t^{2q-1}e^{-t^2}\text{d}s\text{d}t \end{aligned}$

作极坐标变换 $s=r\cos\theta,\;t=r\sin\theta$ ，即得

$\begin{aligned} \Gamma(p)\Gamma(q)=&4\underset{\overset{0\leqslant r<+\infty}{0\leqslant\theta\leqslant\frac\pi2}}{\iint}r^{2(p+q)-1}e^{-r^2}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta\text{d}t\text{d}\theta\\ =&\left(2\int_0^{\frac\pi2}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta\text{d}\theta\right)\left(2\int_0^{+\infty}r^{2(p+q)-1}e^{r^2}\text{d}r\right)\\ =&\text{B}(p,q)\Gamma(p+q) \end{aligned}$

Legendre 公式

$\Gamma(s)\Gamma\left(s+\dfrac12\right)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2^{2s-1}}\Gamma(2s)，\quad s>0.$

余元公式

$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\dfrac{\pi}{\sin\pi s},\quad0<s<1$

Stirling 公式

Gamma 函数有如下的渐进估计：

$\Gamma(s+1)=\sqrt{2\pi s}\left(\dfrac{s}{e}\right)^se^{\frac{\theta}{12s}},\quad s>0,\quad0<\theta<1$

特别地，当 $s=n$ 为正整数时，

$n!=\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^ne^{\frac{\theta}{12n}}$