秩1矩阵

例题

例2.6设 $\alpha,\beta$ 是 $n$ 维非零列向量， $A=\alpha\beta^T$ ，则 $A$ 相似于对角阵的充要条件为 $tr（A）\not=0$ .
例2.14（燕山大学2012）若单位列向量 $\alpha, \beta \in R^{n}$ ，且 $\alpha^{T} \beta=0$ .则矩阵 $\alpha \beta^{T}+\beta \alpha^{T}$ 相似于对角矩阵 $\operatorname{diag}(1,-1,0, \cdots, 0)$ .

参考文献

http://www.52gd.org/?p=242

行等和矩阵

例题

例2.1若非奇异n阶矩阵A的每行元素之和均为a，试证
（1） $a\not=0$ .
（2）对任意的自然数 $m$ ， $A^m$ 的每行元素之和为 $a^m$ ；
（3） $A^{-1}$ 的每行元素之和为 $a^{-1}（a\not=0）$ ；
（4） $a$ 为 $A$ 的一个特征值， $\xi=(1,1, \cdots, 1)^{T}$ 为对应的特征向量；
（5） $a^m$ 为 $A^m$ 的一个特征值；
（6）求 $2A^{-1}-3A$ 的各行元素之和.
例2.3（江西师范大学2011）设 $n$ 阶方阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 的每个元素非负且每行元素之和为 $1$ .证明： $A$ 必有特征值 $1$ ，且 $A$ 的每个特征值的绝对值不超过 $1$ .