高等代数理论基础23：矩阵的秩

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-01-04 06:32 被阅读63次

矩阵的秩

定义：矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩,矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩

引理：若齐次线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=0\end{cases}\qquad (1)$ 的系数矩阵

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}\end{pmatrix}$ 的行秩 $r\lt n$ 则它有非零解

证明：

$以\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s代表矩阵A的行向量组$

$\because 秩为r$

$\therefore 极大线性无关组由r个向量组成$

$不妨设\alpha_1,\cdots,\alpha_r为一个极大线性无关组$

$\alpha_1,\cdots,\alpha_r,\cdots,\alpha_s与\alpha_1,\cdots,\alpha_r等价$

$即方程组(1)(2)可互相线性表出$

$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{r1}x_1+a_{r2}x_2+\cdots+a_{rn}x_n=0\end{cases}\qquad (2)$

$\therefore 方程组(1)(2)同解$

$\therefore 方程组(1)有非零解\qquad \mathcal{Q.E.D}$

定理：矩阵的行秩与列秩相等

证明：

$设矩阵A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}\end{pmatrix}$

$设A的行秩为r,列秩为r_1$

$下证r=r_1$

$以\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s代表矩阵A的行向量组$

$不妨设\alpha_1,\cdots,\alpha_r是它的一个极大无关组$

$\because \alpha_1,\cdots,\alpha_r线性无关$

$\therefore x_1\alpha_1+\cdots+x_r\alpha_r=0只有零解$

$即齐次线性方程组$

$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{21}x_2+\cdots+a_{r1}x_r=0\\ a_{12}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{r2}x_r=0\\ \cdots\\ a_{1n}x_1+a_{2n}x_2+\cdots+a_{rn}x_r=0\end{cases}$

$只有零解$

$\therefore 系数矩阵$

$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{r1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{r2}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{rn}\end{pmatrix}$

$的行秩\ge r$

$\therefore 在它的行向量中可找到r个线性无关的$

$如(a_{11},a_{21},\cdots,a_{r1}),(a_{12},a_{22},\cdots,a_{r2}),$

$\cdots,(a_{1r},a_{2r},\cdots,a_{rr})线性无关$

$在上述向量中添上几个分量可得$

$(a_{11},a_{21},\cdots,a_{r1},\cdots,a_{s1}),(a_{12},a_{22},\cdots,a_{r2},\cdots,a_{s2}),$

$\cdots,(a_{1r},a_{2r},\cdots,a_{rr},\cdots,a_{sr})线性无关$

$它们正好是矩阵A的r个列向量$

$由它们的线性无关性可知$

$矩阵A的列秩r_1\ge r$

$类似可证r\ge r_1$

$\therefore r=r_1,即行秩与列秩相等\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理： $n\times n$ 矩阵 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$ 的行列式为零 $\Leftrightarrow$ A的秩小于n

证明：

$充分性$

$\because A的秩小于n$

$\therefore A的n个行向量线性相关$

$n=1时,A只有一个数,即只有一个一维向量$

$且为线性相关的向量组$

$即为零向量$

$\therefore |A|=|0|=0$

$n\gt 1时,A中有一行是其余各行的线性组合$

$这一行依次减去各行相应倍数,则该行全变成零$

$\therefore |A|=0$

$必要性$

$n=1时,由|A|=0可知$

$A仅有的一个元素为零$

$\therefore A的秩为零$

$n\gt 1时,假设结论对n-1级矩阵成立$

$对n级矩阵$

$以\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n代表A的行向量$

$对于A的第一列元素a_{11},a_{21},\cdots,a_{n1}$

$若全为零,则A的列向量组中含零向量$

$显然秩小于n$

$若这n个元素有一个不为零$

$不妨设a_{11}\neq 0$

$则从第二行到第n行减去第一行的适当倍数可得$

$|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a'_{22}&\cdots&a'_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&a'_{n2}&\cdots&a'_{nn}\end{vmatrix}$

$=a_{11}\begin{vmatrix}a'_{22}&\cdots&a'_{2n}\\ \vdots& &\vdots\\ a'_{n2}&\cdots&a'_{nn}\end{vmatrix}$

$其中(0,a'_{i2},\cdots,a'_{in})=\alpha_i-{a_{i1}\over a_{11}}\alpha_1,i=2,\cdots,n$

$由|A|=0可知n-1级矩阵$

$\begin{pmatrix}a'_{22}&\cdots&a'_{2n}\\ \vdots& &\vdots\\ a'_{n2}&\cdots&a'_{nn}\end{pmatrix}$

$的行列式为零$

$\therefore 这个矩阵的行向量线性相关$

$\therefore \alpha_2-{a_{21}\over a_{11}}\alpha_1,\cdots,\alpha_n-{a_{n1}\over a_{11}}\alpha_1线性相关$

$即有不全为零的数k_2,\cdots,k_n使得$

$k_2(\alpha_2-{a_{21}\over a_{11}}\alpha_1)+\cdots+k_n(\alpha_n-{a_{n1}\over a_{11}}\alpha_1)=0$

$即-({a_{21}\over a_{11}}+\cdots+{a_{n1}\over a_{11}})\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0$

$-({a_{21}\over a_{11}}+\cdots+{a_{n1}\over a_{11}}),k_2,\cdots,k_n显然不全为零$

$\therefore 向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n线性相关$

$\therefore 它的秩小于n$

$\therefore A的秩小于n\qquad \mathcal{Q.E.D}$

推论：齐次线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0\end{cases}$ 有非零解的充要条件是它的系数矩阵 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}\end{pmatrix}$ 的行列式等于零

子式

定义：在一个 $s\times n$ 矩阵A中任意选定k行和k列,位于这些选定的行和列的交点上的 $k^2$ 个元素按原来的次序所组成的k级行列式称为A的一个k级子式

注： $k\le min(s,n)$

定理：一矩阵的秩是r的充要条件为矩阵中有一个r级子式不为零,同时所有r+1级子式全为零

证明：

$必要性$

$设矩阵A的秩为r$

$则A中任意r+1个行向量线性相关$

$A的任意r+1级子式的行向量也线性相关$

$\therefore A的所有r+1级子式全为零$

$下证A中至少有一个r级子式不为零$

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}\end{pmatrix}的秩为r$

$\therefore A中有r个行向量线性无关$

$不妨设前r个行向量线性无关$

$取出这r行作一新矩阵$

$A_1=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{r1}&a_{r2}&\cdots&a_{rn}\end{pmatrix}$

$显然矩阵A_1的行秩为r$

$\therefore A的列秩也为r$

$即A_1中有r列向量线性无关$

$不妨假设前r列线性无关$

$\therefore \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1r}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{r1}&\cdots&a_{rr}\end{vmatrix}\neq 0$

$它为A的一个r级子式,必要性得证$

$充分性$

$设在矩阵A中有一r级子式不为零,而所有r+1级子式全为零$

$下证A的秩为r$

$显然,若A的r+1级子式全为零$

$则A的r+2级子式也一定为零$
$\therefore A的所有级数大于r的子式全为零$

$设A的秩为t$

$t\ge r$

$否则A的r级子式全为零$

$t\le r$

$否则A就要有一个t(\ge r+1)级子式不为零,矛盾$

$\therefore t=r\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：

1.矩阵A的秩 $\ge$ r的充要条件为A有一个r级子式不为零

2.矩阵A的秩 $\le$ r的充要条件为A的所有r+1级子式全为零

3.在秩为r的矩阵中,不为零的r级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组,所在的列正是它列向量组的一个极大线性无关组

计算矩阵的秩

注：初等行变换初等列变换不改变矩阵的秩

阶梯形矩阵的秩就等于其中非零行的数目

证明：

$设A为一阶梯形矩阵,不为零的行数是r$

$初等列变换不改变矩阵的秩$

$适当变换列的顺序,不妨设$

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1r}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2r}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{rr}&\cdots&a_{rn}\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0\end{pmatrix}$