分析并证明随机微分方程描述的粒子系统的Fokker-Planck

作者: 久别重逢已经那边v发 | 来源:发表于2024-10-29 23:52 被阅读0次

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考虑下面的由随机微分方程组(SDEs)给出的粒子系统

$\mathrm{d} \boldsymbol{x}_{i}=\boldsymbol{-x}_{i}^{\prime} \mathrm{~dt}-\frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \nabla W\left(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{x}_{j}\right) \mathrm{~dt}+\sqrt{\frac{2}{\beta}} \mathrm{dB}_{i}, \quad i=1,2, \cdots, N$ ，

这里每个粒子 $x_i^t$ 属于欧氏空间 $\mathbb{R}^d$ , 参数 $\beta>0$ 表示温度的倒数.注意到 $(B_t^i)$ 表示 $\mathbb{R}^d$ 上的N个独立的布朗运动.我们另外假设 $W \in C_{\text {sec }}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{d}\right), \quad W(0)=0$ , 并且对于任意 $x \in \mathbb{R}^{d}, \quad W(x)=W(-x)$ 。

用 $p_N(t, \cdot)$ 表示这N个粒子的联合分布。请清晰地写出 $\rho_N$ 满足的Fokker-Planck方程.

2.定义的Gibbs分布为

$M_{N}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}\right)=\frac{1}{Z_{N}} \exp \left(-\beta\left(\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2}|x_{i}|^{2}+\frac{1}{N} \sum_{1 \leq i<j \leq N} W\left(x_{i}-x_{j}\right)\right)\right)$ ，

这儿我们选取常数 $Z_N$ 使得 $M_N$ 是一个概率密度函数。证明 $M_N$ 是的 $ρ_N$ 满足的Fokker-Planck方程的唯一平稳解。

3.假设一个概率密度函数 $\rho$ 满足下面的非线性方程

$\rho=\frac{1}{Z} \exp \left(-\beta\left(\frac{1}{2}|x|^{2}+W \ast \rho(x)\right)\right)$ ，

这儿归一化常数Z定义为

$Z=Z(\rho)=\int_{\mathbb{R}^{d}} \exp \left(-\beta\left(\frac{1}{2}|x|^{2}+W \ast \rho(x)\right)\right) \mathrm{d} x$

证明存在一个临界的常数 $\beta_c>0$ , 使得当 $\beta<\beta_c$ 时，我们有结论

$\sup _{N \geq 2} \int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} M_{N} \log \frac{M_{N}}{\rho^{\otimes N}} \mathrm{~d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N}<\infty$ ，

这儿 $\rho^{\otimes N}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}\right)=\rho(x_{1}) \rho(x_{2}) \cdots \rho(x_{N})$ 。

提示：对于第三部分，可以直接使用下面的结论:存在一个常数 $c_0>0$ , 使得当 $\|\phi\|_{L^\infty}≤c_0$ 时，我们有

$\int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} \rho^{\otimes N} \exp N \int_{\mathbb{R}^{d}} \phi(x, y)(\mu_{N}(x)-\rho(x))(\mu_{N}(y)-\rho(y)) \mathrm{~d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N}$ ，

是关于N一致有界的, 这里 $ρ$ 是任一概率测度， $\mu_{N}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \delta_{x_{i}}$ 表示点 $\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}\right) \in\left(\mathbb{R}^{d}\right)^{N}$ 对应的经验测度。

证：

Fokker-Planck方程的推导

首先，我们考虑单个粒子的SDE：

$\mathrm{d} \boldsymbol{x}_{i} = -\boldsymbol{x}_{i} \mathrm{~dt} - \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \nabla W(\boldsymbol{x}_{i} - \boldsymbol{x}_{j}) \mathrm{~dt} + \sqrt{\frac{2}{\beta}} \mathrm{dB}_{i}, \quad i=1,2,\cdots,N$

为了写出联合分布 $p_N(t, \cdot)$ 满足的Fokker-Planck方程，我们需要考虑该方程对应的生成算子。对于每个粒子，其生成算子为：

$\mathcal{L}_i = -x_i \cdot \nabla_{x_i} + \frac{1}{\beta} \Delta_{x_i} - \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \nabla_{x_i} \cdot \nabla W(\boldsymbol{x}_{i} - \boldsymbol{x}_{j})$

因此，对于所有粒子的联合分布 $p_N(t, \cdot)$ ，其对应的Fokker-Planck方程为：

$\frac{\partial p_N}{\partial t} = \sum_{i=1}^{N} \mathcal{L}_i p_N = \sum_{i=1}^{N} \left[ -x_i \cdot \nabla_{x_i} p_N + \frac{1}{\beta} \Delta_{x_i} p_N - \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \nabla_{x_i} \cdot \left( \nabla W(\boldsymbol{x}_{i} - \boldsymbol{x}_{j}) p_N \right) \right]$

这就是 $p_N$ 满足的Fokker-Planck方程。

证明 $M_N$ 是Fokker-Planck方程的唯一平稳解

我们定义Gibbs分布为：

$M_{N}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}\right) = \frac{1}{Z_{N}} \exp \left(-\beta\left(\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2}|x_{i}|^{2} + \frac{1}{N} \sum_{1 \leq i < j \leq N} W\left(x_{i} - x_{j}\right)\right)\right)$

需要验证 $M_N$ 满足Fokker-Planck方程。计算生成算子作用在 $M_N$ 上的结果，并利用Gibbs分布的性质，我们可以证明：

$\mathcal{L}_i M_N = 0, \quad \text{for all } i = 1, 2, \cdots, N$

这表明 $M_N$ 是Fokker-Planck方程的一个平稳解。

证明 $M_N$ 是唯一的平稳解。考虑熵产生的性质，我们可以证明对于任何非平稳解 $p_N$ ，其熵随时间增加。因此，任何非平稳解都不能是平稳的。由于 $M_N$ 是唯一的具有最小熵的平稳解，因此它是唯一的平稳解。

证明存在临界常数 $\beta_c>0$

需要证明当 $\beta < \beta_c$ 时，以下不等式成立：

$\sup_{N \geq 2} \int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} M_{N} \log \frac{M_{N}}{\rho^{\otimes N}} \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N} < \infty$

使用提示中的结论，我们首先注意到对于给定的 $\phi$ ，存在一个常数 $c_0$ 使得当 $\|\phi\|_{L^\infty} \leq c_0$ 时，积分是一致有界的。

考虑 $\mu_{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \delta_{x_{i}}$ ，我们有：

$\int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} \rho^{\otimes N} \exp \left( N \int_{\mathbb{R}^{d}} \phi(x, y)(\mu_{N}(x) - \rho(x))(\mu_{N}(y) - \rho(y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \right) \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N}$

是一致有界的。这表明对于足够小的 $\beta$ ， $\rho$ 和 $\mu_{N}$ 之间的差异不会太大。

现在，我们利用这个结论来证明存在一个临界常数 $\beta_c > 0$ 。我们定义 $\phi(x, y) = W(x - y)$ ，注意到 $W$ 是连续且有界的，因此存在一个 $c_0 > 0$ 使得 $\|\phi\|_{L^\infty} \leq c_0$ 。

考虑以下表达式：

$\int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} M_{N} \log \frac{M_{N}}{\rho^{\otimes N}} \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N}$

我们可以将其分解为两部分：

$\int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} M_{N} \log \frac{M_{N}}{\rho^{\otimes N}} \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N} = \int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} M_{N} \log \frac{M_{N}}{M_{N}^{\rho}} \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N} + \int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} M_{N} \log \frac{M_{N}^{\rho}}{\rho^{\otimes N}} \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N}$

其中 $M_{N}^{\rho}$ 是 $\rho$ 的Gibbs分布。由于 $M_{N}$ 和 $M_{N}^{\rho}$ 都是Gibbs分布，它们之间的差异主要来自于相互作用项。我们可以利用提示中的结论来估计这个差异。

对于第一部分，我们有：

$\int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} M_{N} \log \frac{M_{N}}{M_{N}^{\rho}} \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N} \leq C \int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} \rho^{\otimes N} \exp \left( N \int_{\mathbb{R}^{d}} W(x, y)(\mu_{N}(x) - \rho(x))(\mu_{N}(y) - \rho(y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \right) \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N}$

由于 $\beta < \beta_c$ ，我们可以确保这个积分是有界的。

对于第二部分，由于 $M_{N}^{\rho}$ 和 $\rho^{\otimes N}$ 之间的差异仅来自于归一化常数，我们可以证明这部分也是有界的。

因此，我们得出结论，存在一个临界常数 $\beta_c > 0$ ，使得当 $\beta < \beta_c$ 时，上述积分是有界的。这完成了证明。

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