微分方程-初等变换法

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-10-24 15:11 被阅读0次

初等变换法

齐次方程

如果微分方程
$\displaystyle P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0\tag{1}$
中的函数 $P(x,y$ 和 $Q(x,y)$ 都是 $x$ 和 $y$ 的同次（例如 $m$ 次）齐次函数，即：
$\displaystyle P(tx,ty)=t^mP(x,y),\;Q(tx,ty)=t^mQ(x,y)$
则称方程为齐次方程
对于齐次方程（1），标准的标量替换是
$y=ux\tag{2}$
其中 $u$ 为新的未知函数， $x$ 仍为自变量
易知
$\begin{cases} P(x,y)=P(x,ux)=x^mP(1,u)\\ Q(x,y)=Q(x,ux)=x^mQ(1,u)\\ \end{cases}$

因此把变换带入（1）有
$\displaystyle x^m[P(1,u)+uQ(1,u)]\text{d}x+x^{m+1}Q(x,y)\text{d}y=0\quad\quad(3)$

得到了一个变量分离的方程
(i)易知方程（1）为齐次方程的一个等价定义是，它可以转化为如下形式：
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\varPhi(\dfrac{y}{x})$
(ii) 容易看出， $x=0$ 是方程（3）的一个特解，但他未必是原方程（1）的解，出现这种情况的原因在于变换（2）的过程当 $x=0$ 的时候是不可逆的.

1

讨论形如
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left(\dfrac{ax+by+c}{mx+ny+l}\right)$
的方程得求解法，这里设 $a,b,c,m,l$ 为常数
① $c=l=0$
此时为齐次方程，可用变换 $y=ux$ 求解.

② $\Delta=an-bm\not=0$ .
此时可选常数 $\alpha$ 和 $\beta$ ，使得
$\begin{cases} a\alpha+b\beta+c=0\\ m\alpha+n\beta+l=0. \end{cases}$

然后取自变量和未知函数的(平移)变换
$x=\xi+\alpha,\;y=\eta+\beta$
则原方程就化为 $\xi$ 与 $\eta$ 的方程
$\displaystyle \dfrac{\text{d}\eta}{\text{d}\xi}=f\left(\dfrac{a\xi+b\eta}{m\xi+n\eta}\right)$

这已经是齐次方程. 因此只需要令 $u=\dfrac{\eta}{\xi}$ 即可把它转化成变量分离的方程.

③ $\Delta=an-bm=0$ .
此时有 $\lambda=\dfrac{m}{a}=\dfrac{n}{b}$ . 因此，原方程化为
$\displaystyle \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left(\dfrac{ax+by+c}{\lambda(ax+by+)+l}\right)$

再令 $u=ax+by$ 为新的未知函数， $x$ 仍为自变量，则上述方程化为
$\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x}=a+bf\left(\dfrac{v+c}{\lambda v+l}\right)$

他是一个变量分离的方程

伯努利方程

形如
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+p(x)y=q(x)y^n\tag{4}$
的方程称为伯努利方程，其中 $n$ 为常数，而且 $n\not=0$ 和 $1$ . 以 $(1-n)y^{-n}$ 乘以方程两边，即得
$\displaystyle (1-n)y^{-n}\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+(1-n)y^{1-n}p(x)=(1-n)q(x)$

令 $z=y^{1-n}$ ，就有
$\dfrac{\text{d}z}{\text{d}x}+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)$

这是关于未知函数 $z$ 的一阶线性方程.

Riccati 方程

假如一阶微分方程
$\displaystyle\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x,y)$
的右端函数 $f(x,y)$ 是一个关于 $y$ 的二次多项式，则称此方程为二次方程；他可以写成如下形式:
$\displaystyle\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=p(x)y^2+q(x)y+r(x)\;(2.49)$
其中 $p(x),\,q(x),\,r(x)$ 在区间 $I$ 上连续，而且 $p(x)$ 不恒为零.
方程（2.49）通常又叫做 Riccati 方程. 这是形式上最简单的非线性方程. 但是，一般而言，它已不能用初等积分法求解

定理 2.2

设已知 Riccati 方程（2.49）的一个特解 $y=\varphi_1(x)$ 则可用积分法求得它的通解.

证明：
对方程（2.49）作变换 $y=u+\varphi_1(x)$ ，其中 $u$ 是新的位置函数. 带入方程（2.49），得到
$\displaystyle\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x}+\dfrac{\text{d}\varphi_1}{\text{d}x}=p(x)[u^2+2\varphi_1(x)u+\varphi_1^2(x)]+q(x)[u+\varphi_1(x)]+r(x)$ ,
由于 $y=\varphi_1(x)$ 是（2.49）的解，从上式消去相关项时，有
$\displaystyle\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x}=[2p(x)\varphi_1(x)+q(x)]u+p(x)u^2$
这是一个伯努利方程

定理 2.3

设 Ricccati 方程
$\displaystyle\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+ay^2=bx^m\quad(2.50)$
其中 $a\not=0,b,m$ 都是常数. 又设 $x\not=0$ 和 $y\not=0$ . 则当
$m=0,\,-2,\,\dfrac{-4k}{2k+1},\,\dfrac{-4k}{2k-1}\,(k=1,2,\cdots)$
时，方程（2.50）可通过恰当的变换化为变量分离的方程.

证明：
不妨设 $a=1$ (否则作自变量变换 $\bar{x}=ax$ 即可). 因此代替方程（2.50），我们考虑方程

$\displaystyle\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+y^2=bx^m\quad(2.52)$

当 $m=0$ 时，（2.52）是一个变量分离的方程
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=b-y^2$

当 $m=-2$ 时，作变换 $z=xy$ ，其中 $z$ 是新未知函数. 然后代入方程（2.52）得到

$\dfrac{\text{d}z}{\text{d}x}=\dfrac{b+z-z^2}{x}$
这也是一个变量分离的方程

当 $m=\frac{-4k}{2k+1}$ 时，作变换
$\displaystyle x=\xi^{\frac1{m+1}},\,y=\dfrac{b}{m+1}\eta^{-1}$

其中 $\xi$ 和 $\eta$ 分别为新的自变量和未知函数，则（2.52）变为
$\displaystyle\dfrac{\text{d}\eta}{\text{d}\xi}+\eta^2=\dfrac{b}{(m+1)^2}\xi^n\quad(2.53)$

其中 $n=\frac{-4k}{2k-1}$ . 再做变换
$\xi=\dfrac{1}{t},\,\eta=t-zt^2$
其中 $z$ 和 $t$ 是新的自变量和未知函数，则（2.53）变为
$\displaystyle\dfrac{\text{d}z}{\text{d}t}+z^2=\dfrac{b}{(m+1)^2}t^l\quad(2.54)$