非齐次线性方程组的通解

本文根据之前的结果进一步给出非齐次线性方程组

的解的结构. 我们假设 是区间 上的 阶连续矩阵函数， 是区间 上的 维连续列向量函数. 当 ，方程组（3.15）变为（3.9）. 我们称方程组（3.9）时方程组（3.15）相应的齐次线性方程组.

容易验证，方程组（3.15）的解与方程组（3.9）的解之间有如下关系：如果 和 是方程组（3.15）的两个解，则 是相应的齐次线性方程组（3.9）的解；反之，如果 和 分别是方程组（3.15）和方程组（3.9）的解，则 也是当成组（3.15）的一组解. 一般地，非齐次线性方程组的通解结构如下：

---

定理 3.4

若 是方程组（3.15）的某个解，则方程组（3.15）的任一解 都可以表示为

其中 是 维常数列向量， 是相应齐次方程组（3.9）的基解矩阵.

证明

由方程组（3.15）的解与方程组（3.9）的解之间的关系知， 是齐次方程组（3.9）的解. 由之前的只是，存在一个 维常数列向量 ，使得 ，从而得到（3.16）.

---

定理 3.4 表明，要找出方程组（3.15）的全部解，只需找出它的一个特解以及它相应的齐次线性方程组（3.9）的基解矩阵即可. 下面我们运用常数变易法来证明：只要找到齐次方程组（3.9）的基解矩阵 ，就能切丁非齐次线性方程组（3.15）的一个特解，从而给出其通解.

这就是下面的定理：

定理 3.5

若矩阵函数 是齐次线性方程组（3.9）的基解矩阵，则非齐次线性方程组（3.15）的通解为

其中 为 维常数列向量. 方程组（3.15）满足初值条件 的解为

其中

由于我们在证明中用到的方法i奥做常数变易法，因此，我们把（3.17）或（3.18）称为常数变易公式.

证明

由之前知识，齐次方程组（3.9）的通解为 ，其中 为任意 维常数列向量. 现在我们把常数向量 变易为 的待定列向量函数 ，以期寻找非齐次线性方程组（3.15）的形如

的特解. 把（3.19）带入非齐次线性方程组（3.15），得到

由于 是齐次方程组（3.9）的解矩阵，所有

因此向量函数 满足微分方程组

因为 是方程组（3.9）的基解矩阵，所以它的逆 存在. 从而由（3.20）得

对上式两边积分得到

其中 为常向量. 特别地，取 ，借的到方程组（3.15）得一个特解

再由定理 3.4 即得（3.17）并相应得到（3.18）. 定理得证.

尽管我们拥有了验证齐次线性方程组（3.9）得一个解矩阵是否为基解矩阵的方法，然而，要计算一个齐次线性微分方程组的基解矩阵仍然不是一件容易的事. 对常系数矩阵 的情形，之后会给出方法.