一、一阶线性微分方程

一般形式：

当时，则方程为齐次方程，反之为非齐次。

通解：
通解公式：

特解：
特解是将通解中的根据已知条件（定解条件）解出具体数，将的值带入通解，得特解。

几何意义：
用于求曲线方程

特别题型：
有些题目给出的为积分方程，则需要对积分方程求导，还原为微分方程。

涉及知识点：
变限积分求导

二、二阶常系数线性微分方程

2.1 齐次方程

一般形式：

求通解：

1. 列出特征方程：
   
2. 求特征根：
   一元二次方程求根公式解出。
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2.2 非齐次方程

一般形式：
*注：非齐次方程求通解与求齐次方程相同
非齐次方程考查形式分为两种：① 求特解形式。② 求特解。
二阶微分方程为形式一，且m次数次幂时，求一般非常复杂，则可以利用推导公式，代入数据减少出错。
非齐次的通解就是齐次通解和非齐次特解相加，即：非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

形式一：形式

求特解形式（非具体特解）：
方程一般形式：
则特解形式为：

其中

特解推导公式：

：的二阶导数
：的一阶导数
：原式系数
：原式系数
：求根据是否为特征根时确定的取值
：根据原式确定的取值

解题思路：
①. 先求通解特征根。
②. 判断原式中是否为特征根，与特征根一个相同则为单根，两个则为二重根，则决定的取值。
③. 根据的次数，决定的次数，0次为常数，1次则为，2次则为 以此类推。
④. 确定则带入得出特解。

形式二：形式

方程形式为：
则特解形式为：

其中
解题思路：
①. 先求通解特征根。
②. 判断原式中是否为特征根，决定的取值。
③. 确定则带入得出特解。

特别题型：

1. 形式一与形式二加起来的形式。
   例如可以拆解为两种形式分别计算：
   
   则原方程特解形式就为两种形式之和