例题

例3.4设 $A$ 是 $n$ 阶反对称矩阵， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则当 $n$ 为偶数时， $A^*$ 为反对称矩阵，当 $n$ 为奇数时， $A^*$ 为对称矩阵。
例3.7设 $A$ 为 $n$ 阶实可逆阵， $S$ 为 $n$ 阶实反对称阵，求证 $\left|A A^{T}+S\right|>0$ .
例3.13设A为n阶实可逆反对称矩阵，b为n维实列向量，则
(1) $r\left(A+b b^{T}\right)=n$
(2) $r \left( \begin{array}{cc}{A} & {b} \\ {b^{T}} & {0}\end{array}\right)=n$
例3.14（苏州大学2011）设 $A$ 是可逆的实对称 $n$ 阶方阵， $B4是实反对称$ n $阶方阵，且有$ AB=BA $.求证：$ A+B $可逆。例3.15实反对称阵的特征值为零或纯虚数. 例3.16设A为实反对称矩阵，则相应于A的纯虚数特征值的特征向量，其实部与虚部实向量的长度相等且相互正交. 例3.24（重庆大学06）设$ A $为$ n $阶反对称矩阵。（1）证明：$ 1 $与$ -1 $不是$ A $的特征值；（2）令$ B=(E-A)(E+A)^{-1} $，证明：$ B $是正交矩阵，且$ -1 $不是$ B $的特征值. 例3.26$ A，B $为$ n $阶实方阵，且$ A $为正定阵，$ B $为实反对称阵.证明$ B^TAB$的秩为偶数.