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从课本到高考数学：基本不等式

从课本到高考数学：基本不等式

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-04-17 21:26 被阅读0次

习题2.2~拓广探索

\boxed{\;2.2.7\;} 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金. 一位顾客到店里购买 10g 黄金，售货员先将 5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡； 再将 5g 的砖码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡； 最后将两次称得的黄金交给顾客。你认为顾客购得的黄金是小于 10\,g等于 10\,g还是大于 ，10\,g？ 为什么？

【解】

天平的左、右两臂长度可记作 l_1,l_2.

第一次，售货员将 5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；

5 l_1 = m_1 l_2

第二次，再将 5g 的砖码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；

m_2 l_1 = 5 l_2

于是，m_1+m_2 = 5 (\dfrac{l_1}{l_2}+\dfrac{l_2}{l_1})

因为 l_1,l_2 均为正数，

根据基本不等式推出：\dfrac{l_1}{l_2}+\dfrac{l_2}{l_1} \geqslant 2 \sqrt{\dfrac{l_1}{l_2} \cdot \dfrac{l_2}{l_1}}

\Rightarrow \dfrac{l_1}{l_2}+\dfrac{l_2}{l_1} \geqslant 2

\Rightarrow m_1+m_2 \geqslant 10.

结论：按照题中描述的称量方法，顾客所得黄金大于 10\,g.

【提炼与提高】

在高中数学中，『基本不等式』属于既基本又重要的内容，在高考数学中也具有重要作用，一定要重视.

在高考中的真题实例，请看：

从课本到高考：2005年全国卷A题17

不等式之目：2014年理数全国卷A题24

不等式之目：2015年理数全国卷B题24

开拓思维的高考数学题：2013年理数全国卷B题24

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