关于赌博的概率分析--Random Walk

如果Alice与Bob玩一种公平的赌博游戏（即大家赢的概率都是1/2），每次大家都拿一元钱出来，然后抛硬币，出现正面Alice赢一元，否则输一元，直到某一方的赌资输完，或者Alice赢够了她想吃雪糕的钱。如果Alice总共有n元，Bob有m元，那么，Alice赢得n+m元的概率是n/(n+m)。很显然，如果可怜的Bob只有10元，而Alice有100元，Alice会有很大的概率能吃上一个10元钱的雪糕，概率大概是100/110 = 0.9 。如果Bob有20元，Alice依然以0.83以上的大概率赢得游戏。

Bob手拿20元如果不耍滑头是没办法赢的，所以，他在硬币上做了一点点手脚，使得Alice赢的概率不再是1/2，而是0.45。毕竟做手脚也不能太过分，否则很容易被发现。请问，这时候Alice赢的概率有多大？

看上去，概率改变不大，而且Alice的赌资相对大，就算没有0.8的大概率也应该有0.7的概率，就算是0.5以上的概率也是赢面很大。可惜，事实并非如此！

给几个记号如下：n是Alice的赌本，T是Alice游戏结束时的总资本。即，如果Alice原本有100元，n = 100；如果她赢了20元，T = 120。p是Alice赢一次抛币的概率，q = 1 - p，是Bob赢的概率。记r = q/p。此时Alice赢的概率是：Pr[Wins] = (r ^n - 1) / (r^T - 1)，其中r = q/p。符号“^{”是指数运算，r}n就是r的n次指数。

不难计算，在n = 100，T = 120，p = .45，q = .55时，Pr[Wins] = .018 。Alice基本输定了！

即使Bob只有10元，他都会赌，因为此时Alice依然只有0.13的概率赢得游戏。

再来一个实例：在n = 100，T = 120，p = .49，q = .51时，Pr[Wins] = .44 。在概率改变一点点的时候，Bob依然有很大的赢面。

结论：在赌场赌博赢钱的概率非常非常小。

Pr[Wins] = (r ^n - 1) / (r^T - 1) 这个结论如何得出？敬请期待下学期《在人工智能时代面向信息时代的计算机高等扯淡数学》的内容：Random Walk。大概会有两种证明方法......