阴阳历实际即以阴历、阳历、置闰三部分组成。置闰用以保证阴历和阳历基本对应。如四分历一回归年365.25日，一朔望月29.53日，12月仅得354.37日，少一回归年约10日，积三年则差一月，故加闰月使相合。
四分历之基本数据：岁实365又1/4日，朔策29又499/940日。其中940称为（朔旦）日法。
凡历法此二者皆实测得之，如何置闰则各以其数据计算得之。
四分历从某一历元起算，此历元即假设日月在该时刻合朔，且该时刻恰为甲子日的半夜0时，同时太阳冬至，古称“十一月甲子夜半朔旦冬至”，即十一月的甲子、夜半、朔旦、冬至四个条件相等。
自历元起开始积日，日的整数部分对60甲子求余，称（朔旦）大余，大余对应甲子表的序号，就是该日的干支。小数部分化为以日分为分母的分数，分子称为小余。历元时大余小余皆为0，故称“无大余，无小余”。
求任意年月日的大小余，宜先求该年冬至月的朔日，称为“天正朔”。
如从历元年起到第二年正月朔，历经12个朔望月。合354又348/940日。54即为大余，348即为小余。第二年同理，距历元708又696/940日，故“大余48，小余696”。但对于第三年，因为有闰，实际距历元历经了37月，则“大余12，小余603”（37*(29+499/940)=1092又603/940）。
但对于求任意一年的大小余，就必须先知道置闰在哪里。以闰余法为例：
一朔望月29又499/940，即27759/940日，与岁实通分，即235月凡27759/4日，恰为19年。此时冬至和朔旦再次同时（朔旦冬至）。即6939.75日为一个置闰周期，合19年，即共置闰7次，古称一章。如此，以19年闰7月，则知每年闰余7/19月，满一月之年置闰。 即求任意一年的大小余，先求置闰数。如距历元50年，则闰余350/19月，合置闰18次。故历618个朔望月，凡18250+62/940日，故”大余10，小余62“。
满一章日数尚余小数0.75，尚非夜半，欲得夜半朔旦冬至，需取4章凡76年，27759日，古称一蔀。
满一蔀日数对60甲子尚无法除尽，余39，与60求最小公倍数得780，即是60的20倍，凡20蔀为一纪得1520年，。经此1520年后，日复得甲子，夜半朔旦冬至。历法至此近于完备，只是纪年的干支与历元不同，1520除60甲子余20，故三纪（各称天地人）而除尽。则以4560年为一元，历法于此方备。
（章蔀纪元的年数皆从1始。如历元年为第一章第一年，距历元50年为第3章第13年。）
已得任意一年天正朔，求该年任意一月朔日大小余，只需加朔策即可。如第3章第13年之子正八月，即以前计算所得，大余10，小余62。为10又62/940日，加7*27759/940日，得128又178/940，则大余为36，小余为735。
但如果该年有闰，则须先知道闰在几月。如次年天正闰余为357/19月（即15/19月，凡≥12/19月即须置闰。因加该年闰余7/19月已满一月，使用时闰余仅取分子15表示），知此年有闰。若闰在八月前，则需加一月，闰在六月后，则无需加。
一章19年凡228月加7闰月，则每月闰余7/228月。该年天正闰余15/19月，至八月闰余即加7*7/228，得229/228，即满一月，闰在七月。则至该年天正至八月历八个月，故先求天正大余为4，小余为410。加8*27759/940，得240又642/940，即该年八月大余0，小余642。
推步基本思路：
1. 求入元年：从上元起算，以一元4560为一个大周期，此周期内各日干支大小余相同，故对4560求余，转为一元内问题求解。
2. 求入蔀年：从元首起算，以一蔀76年为一个小周期，此周期内各日大小余相同，故对76求余，转为一蔀内问题求解，求干支再加上蔀首干支即可。
3. 求闰余：以19年7闰，则每年闰7/19月，满1则年前置闰。闰余取分子7，满12之年置闰。
月闰余：以19即235月7闰，则每月闰7/235月。闰余取分子7，满228之月置闰。
4. 求积日：即年数（即入蔀年，已转为一蔀内）乘一年日数365又1/4。
5. 求大小余：即积日对60求余，整数部分为大余，小数部分为小余（转为以日法为分母的分 数，取分子为小余）。
大余：从蔀首起算，以积日对60求余，即为大余。
小余：积日转为以940为分母的假分数表示，分子对940求余，即为小余。
6. 求干支：以蔀首干支加大余，或从入元年的积日对60求余。
历法推步，基本皆可写成一次同余式的形式，设所求年为year，则：
计算时入元年和入蔀年从0起算，表示时从1起算，故结果各加1（不代入公式中计算，仅作为表示）。
先秦之四分历，各有历元，分别为：
周历，上元丁巳：近距历元：-1624
殷历，上元甲寅：近距历元：-1567
鲁历，上元庚子：近距历元：-1841
夏历，上元乙丑：近距历元：-1076
颛顼历，上元乙卯：近距历元：-1506
黄帝历，上元辛卯：近距历元：-1350
计算时，只需使用近距历元即可，皆距其历元605元。其中颛顼历历元为正月己巳夜半朔旦立春。
网友评论