动态规划与钢条切割问题

动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种算法思想，通常用于解决最优化问题。它基于“最优子结构”和“重叠子问题”的概念，将问题分解成若干个子问题，通过选择最优子问题的解来得到原问题的最优解。

动态规划算法的核心思想是通过存储已经计算过的子问题的解，避免重复计算相同的子问题。由于此技术只需计算每个子问题一次，因此它可以用于高效地解决大型问题。

在处理问题时，通常需要考虑如何设计状态、状态转移方程等问题。具体来说，状态用来存储子问题的解，状态转移方程则规定了如何通过已知的一些子问题的解来计算新的子问题的解。

总之，动态规划算法提供了一种解决问题的框架，它可以解决许多需要求解所有局部最优解然后综合得到全局最优解的问题。

钢条切割例子

举个例子，假设有一个长度为 n 的钢条，可以按照不同长度出售，不同长度的价格已知，如下表所示：

长度 i 1 2 3 4 5 6 7 8
价格 pi 1 5 8 9 10 17 17 20

现在需要将钢条切割成若干个小段进行出售，如何切割可以使得收益最大呢？

分析

显然，如果将钢条切割成长度分别为 i 和 n-i，则可以分别对这两个小问题求解，再将它们的最优解相加即为钢条长度为 n 的最优解。因此，问题的最优解可以由子问题的最优解推导出来。于是，我们可以采用动态规划来解决这个问题。

实现思路

在这个例子中，我们可以定义了一个长度为 n+1 的数组 maxRevenue。maxRevenue[i] 表示长度为 i 的钢条的最大收益。我们从长度为 1 开始，依次求出长度为 2、3、…、n 的最大收益，直到求解出长度为 n 的最大收益。

在每个长度的切割方案中，我们枚举钢条的每个可能切割位置 j，计算出切割成长度为 j 和 i-j 两段后的最大收益。因为在钢条长度为 i 的切割方案中，切割位置 j 只需要考虑 1<=j<=i，所以这里的内层循环变量 j 取值范围是 1 到 i。

最后， maxRevenue[n] 就是钢条长度为 n 的最优解。

Java代码实现

public class CutRod {

public static int cutRod(int[] prices, int length) {
    int[] maxRevenue = new int[length+1];
    maxRevenue[0] = 0;

    for (int i = 1; i <= length; i++) {
        int maxPrice = Integer.MIN_VALUE;
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            maxPrice = Math.max(maxPrice, prices[j-1] + maxRevenue[i-j]);
        }
        maxRevenue[i] = maxPrice;
    }

    return maxRevenue[length];
}

public static void main(String[] args) {
    int[] prices = {1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20};
    int length = 8;

    int maxRevenue = cutRod(prices, length);
    System.out.println("Max revenue for length " + length + " is " + maxRevenue);
}

}