对于反射方程， 是一个“空间-方向”相关的入射辐射度，ppg算法在于学习入射光辐射的近似，并根据此对方向进行采样。然后因为没有对bsdf进行采样，后面可以对bsdf进行MIS。

ppg核心是一个迭代的学习机制：

• 渲染过程划分成M个pass，称作“iteration”，
• 每次都生成一个全新的，更强大的入射辐射近似.
• 的生成基于的引导。
  这种机制不仅在渲染早期有效，也避免了耗时的预计算

Spatial-Directional Tree SD树

• 上部是一个划分空间域的二叉树，
• 下部是一个四叉树，划分方向域。

记录radiance：
当路径计算完成的时候，记录路径上的每一个点v上的radiance，在sd tree的叶子上t向。在分到树上的时候，需要用最近邻的filter。

每次迭代产生一张图像以及SD-tree 。早期的图片噪点很大，如果将每次迭代的平均起来噪声更大，因此，不如丢弃早期的图片。因此ppg的迭代机制：后一次迭代的sample数是前一次的两倍。， 这是基本最后一次采样数的两倍。仅仅保留最后一次迭代的图像。

第三节

ppg使用强化学习去构建一个入射光场的的近似表达。由一个SD-tree来描述，然后用几何级增长的计算代价逐渐迭代提高；每次迭代均使用两倍sample。

总是维护两个SD-tree，一个用来引导light path的构建，一个用来收集入射辐射的MC估计：
在第k次迭代中，基于上一次的进行重要性采样，然后将分发到。当第k次迭代结束时，丢弃，使用的信息去准备一棵新的sd-tree 去收集下次迭代中的MC估计。

3.1 收集L的估计

当一个完成的路径组成之后，遍历路径的所有顶点，分发所有顶点的MC入射光辐射估计至.

对于顶点v，及其入射估计, 首先进行一次空间位置查找，即在二叉树中向下查找，找到包含的叶子节点。这个叶子节点存储了一个quad-tree的引用。quad-tree有两个维度的参数，刻画了整个球面的方向；使用世界空间的柱坐标去保存面积比例（area ratios），当从primary到directional域进行转换时。在quad-tree中按照方向域去遍历，只进入包含了的节点，并在下降遍历的过程中，在所有经过的节点中，保存。

当当前迭代中，所有的辐射估计都已经被保存时，quad-tree的节点估计了所有节点quad对应的通过球面区域的总入射辐射。在二叉树叶子节点及其对应的quad-tree中采样的所有空间位置中，他们的方向分布被averaged了。更多的，为了引导下一次迭代的路径构建，这个信息也用于适配SD-tree的结构，以用于后面的估计的收集（在后面章节中介绍）

3.2 适应性的空间二叉树

二叉树的深度和结构，决定了辐射场空间近似的完善程度和适应性。

为了让refinement更加直观，我们交替使用x,y,z轴，永远划分在中间的节点。是否划分节点由如下策略驱动：上一次迭代中，节点volume中记录的，路径顶点的个数。对于每个叶子节点，在path tracing的过程中，都有一个计数器。特别的，当一个节点至少有个路径顶点的时候，去划分一个节点，其中与第次迭代追踪的路径数量成正比（section 3.4），来自于quad-tree的分辨率，section 5.3中有详细细节。细分之后，每一个叶子节点大致包含了个路径顶点。因此，所有叶子节点的总数，正比与。这个阈值保证了叶子的总数，以及，在迭代过程中，每个叶子节点的采样数以增长。常数c用空间二叉树分辨率换取了方向quad-tree的收敛。

如果仅根据采样数的方法，来优化tree，似乎很原始，他的性能还是不错的，因为迭代式学习的分布，引导路径至对图像有高贡献的区域；相对于低贡献的区域，这些区域会进一步的得到优化。用一个更粗糙的辐射函数近似区域，这些区中有更少的路径是可以的，因为相对噪声的增加通常被这些路径更小的贡献所抵消了。

3.3 适应性的directional quad-tree

除了划分空间二叉树，在每一次迭代结束的时候，也重构quad-tree，用以更好的反映学习到的空间辐射分布；这些新的quad-tree将用于在下次的地带中收集估计。

每一个新的quad-tree的结构，由上次迭代中，收集的空间分布的flux驱动。为了达到这个目的，我们首先拷贝叶子节点旧的quad-tree，或者quad-tree的父节点（如果这个叶子节点是新的 ）。

划分拷贝的quad-tree的目的是让每个叶子节点包含不超过原quad-tree1%的flux。具体的，向下遍历旧quad-tree的节点，如果节点的flux大于quad-tree的flux的
，就划分节点。划分节点是，我们分配一个四分之一的flux到新创建的孩子节点，然后递归的应用这个细分策略。同时，在每一个存在的内部节点中估计细分策略 - 裁剪他的孩子节点如果策略不满足。这样，那些具有高入射flux的球面区域就可以有更高的分辨率。这种细分策略生成一个大致上等能量划分的方向域。

在每次迭代之后重构quad-tree保证数据结构适应新收集到的数据，其次内存的使用也比较有效。阈值控制使用了多少内存，quad-tree节点的个数正比与. 5.2节有详细分析。

3.4 无偏的迭代式学习和渲染

为了加速学习，使用了类似Vorba的迭代机制：训练一个序列, 其中仅仅使用BSDF采样去估计，对于所有则联合以及BSDF，通过MIS去估计。从中采样去估计通常击打的加速了收敛。

对于给定路径顶点，使用采样的方法如下。首先，在二叉树中向下寻找，去找到包含顶点位置的叶子节点。接着，从空间叶子节点的quad-tree中采样一个，采样方法是启发式采样warping。

指数级采样计数

如果在每次迭代中，使用相同的路径采样个数，那么仅有一小部分样本能够对图像直接产生贡献，因为前面大部分的样本仅仅用于学习入射辐射场。如果学习到的分布与公式2中分子成比例，那么这不会是个问题，在这种情况，一个单个样本理论上就可以找到分子与pdf的scale因子。然而，我们的分布，只对入射辐射进行了近似，仍然需要在半球空间进行乘积计算（Lfcos）。因此，提出在每次迭代中以几何级数的增加路径采样样本个数，即：对于第k次迭代，我们使用两倍于k-1次迭代的样本数。因此，学习比学习大概需要两倍的时间，但是只有一半的方差。在实际应用中，由于迭代式的重要性采样机制的积极效果，方差的减少通常更高。然而，在最坏的情形（迭代式学习无法加快收敛），仅有一半的样本被浪费。

在每次迭代中，增倍样本个数的另一个重要的特性是当考虑我们的空间细分机制。因为二叉树叶子节点的空间细分将其空间一分为二，加倍样本数保证了几乎一样的样本数给到新的叶子节点中。因此，即使在局部，比噪声更少。

在线渲染预览

为了给用户快速的视觉反馈，我们使用当前迭代中的路径样本给出的渐进式显示渲染的图片。只要我们不在迭代之间混淆路径样本，图像就是无偏的，因为在一次迭代过程中，所有的路径样本都是相互独立的。

因为在每次迭代过程中，都是从头开始渲染，即下一次循环开始的时候，图像会突然有质量的下降。为了避免这种现象，当且仅当他聚集了比上次循环还多的样本之后，再切换到当前迭代的图像。

3.5 平衡学习和渲染

这里讨论给定计算预算B，如何划分学习和渲染，使得最终图像方差最小。预算B可以定义为时间，或者样本数。

对于第k次迭代，我们定义“单位房差预算（budget to unit variance）”，换句话说，第k次迭代路径追踪的图像的方差和用于构建这些路径的预算 .方差根据像素平均方差计算得来，假定使用来引导路径，直到达到预算B，那么最终图像的方差：。其中是从第k次迭代开始时，剩下的预算，即.

这里的目标是找到最优的迭代，是的最终图像方差最小，即。为了达到这个目的，假设训练是单调递减的回馈；更准确的，序列是单调递减以及凸，然后也是凸的。然后可以找到一个最小的k，使得成立。如果我们需要估计，我们需要多进行一次迭代，但是这浪费掉的计算大大超过我们自动预算机制带来的方差的减少。

当给定一个目标方差的时候，我们可以使用一个类似的方法去最优地平衡训练和渲染。在这种情况，我们可以估计需要的渲染预算，通过，以达到目标方差的。当总预算，时，训练停止，其中。这样，可能成功的找到，因为当增加的时候，是凸函数。