线性代数是人工智能领域的基础，本科期间学完就还给老师了，考研的时候重视的是计算，很多概念似是而非，不知道有啥用，现在又拾起。又有新的领悟。
线性代数的意义
- 线性代数提供了⼀种看待世界的抽象视角：万事万物都可以被抽象成某些特征的组合，并在由预置规则定义的框架之下以静态和动态的方式加以观察。
- 是现代数学和以现代数学作为主要分析方法的众多学科的基础。从量子力学到图像处理都离不开向量和矩阵的使用。
- 线性代数是用虚拟数字世界表示真实物理世界的工具。
- 线性代数的本质在于将具体事物抽象为数学对象，并描述其静态和动态的特性；
基本概念
- 集合：元素常常有共性
- 标量（scalar）：一个标量 a 可以是整数、实数或复数。零维数组。
- 向量（vector）：多个标量 a1,a2,⋯,an 按一定顺序组成一个序列。一维数组
向量的实质是 n 维线性空间中的静止点；
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矩阵（matrix）：将向量的所有标量都替换成相同规格的向量。二维数组
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张量（tensor）：矩阵中的每个标量元素再替换为向量的话，张量是高阶的矩阵。三维等高维数组。
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范数（norm）：对单个向量大小的度量，描述的是向量自身的性质，其作用是将向量映射为一个非负的数值。
通用的 L ^ p 范数定义如下：
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对⼀个给定向量，L^1 范数计算的是向量所有元素绝对值的和，L^2 范数计算的是通常意义上的向量长度，L^∞ 范数计算的则是向量中最大元素的取值。
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内积（inner product）：计算两个向量之间的关系。
两个相同维数向量内积的表达式为
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对应元素乘积的求和。
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内积能够表示两个向量之间的相对位置，即向量之间的夹角。一种特殊的情况是内积为 0，即（x,y）=0.在二维空间上，这意味着两个向量的夹角为 90 度，即相互垂直。而在高维空间上，这种关系被称为正交（orthogonality）。如果两个向量正交，说明他们线性无关，相互独立，互不影响。
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线性空间（linear space）:一个集合的元素具有相同维数的向量（可以是有限个或无限个）， 并且定义了加法和数乘等结构化的运算.
在线性空间中，任意一个向量代表的都是 n 维空间中的一个点；反过来， 空间中的任意点也都可以唯一地用一个向量表示 -
内积空间（inner product space）:定义了内积运算的线性空间.
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正交基（orthogonal basis）:在内积空间中，一组两两正交的向量构成这个空间的正交基.
正交基的作用就是给内积空间定义出经纬度。⼀旦描述内积空间的正交基确定了，向量和点之间的对应关系也就随之确定。 -
描述内积空间的正交基并不唯一。对二维空间来说，平面直角坐标系和极坐标系就对应了两组不同的正交基，也代表了两种实用的描述方式.
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标准正交基（orthonormal basis）:正交基中基向量的 L^2范数都是单位长度 1
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线性变换（linear transformation）：线性变换描述了向量或者作为参考系的坐标系的变化，可以用矩阵表示。
线性空间的一个重要特征是能够承载变化。当作为参考系的标准正交基确定后，空间中的点就可以用向量表示。当这个点从一个位置移动到另一个位置时，描述它的向量也会发生改变。
在线性空间中，变化的实现有两种方式：一是点本身的变化，二是参考系的变化。
在第一种方式中，使某个点发生变化的方法是用代表变化的矩阵乘以代表对象的向量。可是反过来，如果保持点不变，而是换一种观察的角度，得到的也将是不同的结果。 -
矩阵的作用就是对正交基进行变换。因此，对于矩阵和向量的相乘，就存在不同的解读方式：Ax = y。
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向量 x 经过矩阵 A 所描述的变换，变成了向量 y；也可以理解为一个对象在坐标系 A 的度量下得到的结果为向量 x，在标准坐标系 I（单位矩阵：主对角线元素为 1，其余元素为 0）的度量下得到的结果为向量 y。
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这表示矩阵不仅能够描述变化，也可以描述参考系本身。
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表达式 Ax 就相当于对向量 x 做了一个环境声明，用于度量它的参考系是 A。如果想用其他的参考系做度量的话，就要重新声明。而对坐标系施加变换的方法，就是让表示原始坐标系的矩阵与表示变换的矩阵相乘。
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特征值（eigenvalue）：表示了变化的速度
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特征向量（eigenvector）：表示变化的方向
- Ax = λx
- 其效果通常是对原始向量同时施加方向变化和尺度变化。
- 有些特殊的向量，矩阵的作用只有尺度变化而没有方向变化，也就是只有伸缩的效果而没有旋转的效果。对于给定的矩阵来说，这类特殊的向量就是矩阵的特征向量，特征向量的尺度变化系数就是特征值。
- 特征值分解：求解给定矩阵的特征值和特征向量的过程。但能够进行特征值分解的矩阵必须是 n 维方阵。
- 奇异值分解：将特征值分解算法推广到所有矩阵之上。
以上就是对线性代数的总结
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