BPR 贝叶斯个性化排序

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相对于其他矩阵分解，不管是显式分解还是隐式分解，他们最后的得分都将经过排序后选择出要推荐的前n个。与其用均方根的损失函数去逼近原矩阵并选择评分最高分商品，那么我们为什么不直接以排序为目的来训练呢?

由此我们提出了pairwise，最早我们的排序算法是pointwise其思想就是传统矩阵分解，补全单个点的值并排序。pairwise的思想是使用成对的序列，比如用户u在观看i，j商品时观看了i，那么i＞j。

我们的思路，将原矩阵分解

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分解后的矩阵乘积逼近打分矩阵。(该打分矩阵与原矩阵有差距，该打分矩阵是不存在的，我们只是用两个矩阵代表他)

接下来我们来看目标函数。

在此之前我们先讲讲怎么从贝叶斯角度看待损失函数。

我们最小化损失函数被看做是不断趋近于后验分布的过程。

在本题中，我们的目标函数可以看做

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theta表示矩阵W和H，＞u表示排序。

由于p(＞u)对于同一个用户都是相同的。

那么我们最大化目标函数，成了最大化分子项。

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对于前项，我们可以这样计算

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将每两个商品比较。

对于后者p(theta)，作为先验概率，在贝叶斯理论中，其就是正则项，而前者损失项看做似然。

如果p(theta)服从的是拉布拉斯分布，那么我们用L1正则。如果服从高斯分布，我们用L2正则。

简单说说两个正则的区别，L1趋于将特征值归零来简化模型。L2趋于将特征值都趋于0但不为0，L2更好的结合了多个特征值关系，所以效果更好，但是其算法的运行速度没有L1快。

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由图片我们也可以看出，我们对似然概率的计算是使用sigma函数

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其中的Xu12表示用户u第1和第2个商品分数之差。

矩阵分解的作用主要就是为了得到上述的实值函数Xu12。矩阵分解后可得到

注意这里的Wuf  hif是分解矩阵，其中hif矩阵是两个用户隐矩阵乘积

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学习模型。有了损失函数，我们可以用拟牛顿法或者梯度下降来学习。

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最后得到的更新式子只与Xuij有关。

训练集问题。我们训练是以三元组为单位，

＜u ，i ，j＞，因为我们所需的Xuij是个实数，是用户u的i，j商品评分之差。

＊＊＊＊重点

Xuij是一个学习到的值，由于是用Xui-Xuj，且要令损失函数最大，所以Xuij＞0且越大越好。Xui是由商品id行乘权重矩阵得来，所以这相当于非线性的函数映射每个商品id都会得到一个合理的X，且用于计算时使损失函数最大

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于是我们把训练集分为M＊N＊N的形式更方便查询。(M用户数，N商品数)

然而用原矩阵应该问题也不大，只不过要给出负例和空缺值的判断才行。

总结，该算法和普通的矩阵分解算法一样，其特点是很容易的从巨大的商品中找出少量商品推给用户。和普通分解算法的区别在于目标函数的不同，前者目标是尽可能的趋近原矩阵，而后者是尽可能大的找出顺序。