这篇文档大部分内容来源于网络，我只是加入了一些原文档省去的换算上的内容，由于我在这些地方卡住了很久，所以我把我认为对大家有用的内容补充上，方便初学者学习

概述

射线和三角形的相交检测是游戏程序设计中一个常见的问题，最典型的应用就是拾取(Picking)，本文介绍一个最常见的方法，这个方法也是DirectX中采用的方法，该方法速度快，而且存储空间少。先讲述理论，然后给出对应的代码实现。

image
image

理论部分

一个直观的方法

我想大多数人在看到这个问题时，可能都会想到一个简单而直观的方法：首先判断射线是否与三角形所在的平面相交，如果相交，再判断交点是否在三角形内。

判断射线是否与平面相交

判断点是否在三角形内

但是，上面的方法效率并不很高，因为需要一个额外的计算，那就是计算出三角形所在的平面，而下面要介绍的方法则可以省去这个计算。

本文的方法

接下来会涉及到一些数学知识，不过没关系，我会详细解释每一个步骤，不至于太晦涩，只要您不觉得烦就行了，好了开始！

射线的参数方程如下，其中O是射线的起点，D是射线的方向。

image

我们可以这样理解射线，一个点从起点O开始，沿着方向D移动任意长度，得到终点R，根据t值的不同，得到的R值也不同，所有这些不同的R值便构成了整条射线，比如下面的射线，起点是P0，方向是u，p0 + tu也就构成了整条射线。

image

三角形的参数方程如下，其中V0，V1和V2是三角形的三个点，u, v是V1和V2的权重，1-u-v是V0的权重，并且满足u>=0, v >= 0,u+v<=1。

image

确切的说，上面的方程是三角形及其内部所有点的方程，因为三角形内任意一点都可以理解为从顶点V0开始，沿着边V0V1移动一段距离，然后再沿着边V0V2移动一段距离，然后求他们的和向量。至于移动多大距离，就是由参数u和v控制的。

image

于是，求射线与三角形的交点也就变成了解下面这个方程-其中t,u,v是未知数，其他都是已知的

image

image.png
image.png

移项并整理，将t,u,v提取出来作为未知数，得到下面的线性方程组，此处主要涉及的是矩阵的乘法，

image

image.png

现在开始解这个矩阵方程组，这里要用到两个知识点，一是克莱姆法则，二是向量的混合积。

令E1 = V1 - V0，E2 = V2 - V0，T = O - V0上式可以改写成

image image.png

根据克莱姆法则，可得到t,u,v的解分别是

image.png
image.png image

将这三个解联合起来写就是

image

根据混合积公式

image

image.png

上式可以改写成

image

令

image

得到最终的公式，这便是下面代码中用到的最终公式了，之所以提炼出P和Q是为了避免重复计算

image