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曲线运动的加速度 by田湖雁

曲线运动的加速度 by田湖雁

作者: 田湖雁 | 来源:发表于2019-04-06 18:51 被阅读0次

    第三讲:自然坐标系下曲线运动的加速度

    —— 以圆周运动为例


    数学符号

    \vec{e}_n, \vec{e}_{t}, \frac{x}{y}, \sqrt{x}

    对应的代码为
    $\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $\sqrt{x}$


    知识点

    • 曲线运动的加速度\vec{a}​

      • 自然坐标系, \vec{e}_n\vec{e}_{t}

      • 匀速圆周运动的加速度,向心加速度 a_n=\frac{v^2}{R}

        • 写成矢量式 \vec{a}_n=\frac{\vec{v^2}}{R}
      • 直线运动的加速度,切向加速度 a_t=\frac{dv}{dt}​

        • 写成矢量式 \vec{a}_t=\frac{d \vec{v}}{dt}​​
      • 变速圆周运动的加速度

        • \vec{a}=​\vec{a}_n+\vec{a}_t
      • 一般曲线运动的加速度

        • 曲率半径的直观感受
        • 计算曲率半径

    例题


    • 例1.

      曲线运动中,加速度经常按切向\vec{e}_{t}和法向\vec{e}_{n}进行分解:

      \vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}​$$=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}​

      借助熟悉的例子来构建其直观物理图像,有助于理解并记忆这些复杂的公式。

      • 在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车,
        (1) \vec{a}_{t}\neq0
        (2) \vec{a}_{t}=0

      • 在直线上加速跑向食堂的小伙伴,
        (3) \vec{a}_{t}\neq0
        (4) \vec{a}_{t}=0

      • 变速圆周运动的质点,
        (5) \vec{a}_{t}\neq0\vec{a}_{n}=0
        (6) \vec{a}_{t}\neq0a_{n}=\frac{v^{2}}{R} (不就是高中学过的向心加速度嘛)

        上述判断正确的为

    解答:(2)(3)(6)


    • 例2.

      一个质点在做圆周运动时,则

      • 切向加速度一定改变, 法向加速度也改变
      • 切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变
      • 切向加速度可能不变, 法向加速度不变
      • 切向加速度一定改变, 法向加速度不变

    解答: - 切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变


    • 例3.

      物体作斜抛运动,初速度大小为v_{0},且速度方向与水平前方夹角为\theta,则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

    解答:物体的运动轨迹为一抛物线
    水平方向上x=v_0cos\theta t
    竖直方向y=v_0sin\theta t -1/2gt^2
    最高点的曲率k=g/(v_0^2cos\theta^2)
    最高点的曲率半径ρ=v_0^2cos\theta^2/g.


    • 例4.

      质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}.则在t=1 时切向和法向加速度分别为( )

    解答:\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{dt}​​=\vec{i}++\frac{1}{2}t\vec{j}
    v=\sqrt{1+t^2}
    a=1
    a_t=\frac{dv}{dt}=\frac{\sqrt{2}}{2}
    a_n=\frac{\sqrt{2}}{2}


    作业




    • 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}.则在t_{1}=1t_{2}=5 时间内的平均速度为

    解答:\vec v_平=Δr/Δt=(r_2-r_1)/(t_2-t_1)=(12\ \vec{i}-24 \vec{j})(5-1)
    v_平=2\sqrt{12^2+(-24^2)}=24\sqrt{5}

    • 设质点的运动学方程为 \vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j} (式中R\omega皆为常量) 则质点的速度和速率分别为

    解答:\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=Rw\cos\omega t\ \vec{i}+Rw\sin\omega t\ \vec{j}
    v=Rw

    • 运动学的一个核心问题是已知运动方程,求速度和加速度。质点的运动方程为
      \begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}
      t时刻的速度与速率

    解答:\vec v_x=-10+60t
    \vec v_y=15-40t
    \vec v=(-10+60t)\vec i+(15-40t)\vec j
    v=\sqrt{(-10+60t)^2+(15-40t)^2}

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