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阿里巴巴招聘面试题-错排

阿里巴巴招聘面试题-错排

作者: Sep_D_Dai | 来源:发表于2019-10-25 09:36 被阅读0次

问题: 十本不同的书放在书架上。现重新摆放,使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法?

  这个问题推广一下,就是错排问题: n个有序的元素应有n!种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上,则称这个排列为错排。

递推的方法推导错排公式

  当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.

  第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;

  第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有M(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;

  综上得到

    M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]

    特殊地,M⑴=0,M⑵=1

  下面通过这个递推关系推导通项公式:

    为方便起见,设M(k)=k!N(k),(k=1,2,…,n)

    则N⑴=0,N⑵=1/2

    n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)

    即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)

    于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N⑵-N⑴]=(-1)^n/n!

  因此

    N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!

    N⑵-N⑴=(-1)^2/2!

  相加,可得

    N(n)=(-1)2/2!+…+(-1)(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!

  因此

    M(n)=n![(-1)2/2!+…+(-1)(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]

  可以得到

  错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)

容斥原理

  正整数1、2、3、……、n的全排列有n!种,其中第k位是k的排列有(n-1)!,当k取1、2、3、……、n时,共有n*(n-1)!种排列,由于是错排,这些排列应排除,但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次,应补上;在补上时,把同时有三个数不错排的排列多补上了一次,应排除;……;继续这一过程,得到错排的排列种数为

    M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1)^nn!/n!=sigma(k=2~n) (-1)^kn!/k!

    即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1)^n/n!]

    注:sigma表示连加符号,(k=2~n)是连加的范围

代码实现

import java.util.Scanner

public class isdigui {

private static int k=0;

public static void main(String[] args) {

          Scanner cin=new Scanner(System.in);

          long a=cin.nextLong();

          System.out.print(fibonacci(a));

}

     public static long fibonacci(long m){

    if(m==1){return 0;}

    else if(m==2){return 1;}

    else return (m-1)*(fibonacci(m-1)+fibonacci(m-2));

     }

}

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