阿里巴巴招聘面试题-错排

问题： 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

  这个问题推广一下，就是错排问题： n个有序的元素应有n！种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。

递推的方法推导错排公式

  当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n）表示，那么M(n-1）就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

  第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

  第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有M(n-2）种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有M(n-1）种方法；

  综上得到

    M(n)=(n-1）[M(n-2）+M(n-1）]

    特殊地，M⑴=0,M⑵=1

  下面通过这个递推关系推导通项公式：

    为方便起见，设M(k)=k!N(k),(k=1,2，…，n)

    则N⑴=0,N⑵=1/2

    n>=3时，n!N(n)=(n-1）（n-1）！N(n-1）+(n-1）！N(n-2）

    即 nN(n)=(n-1）N(n-1）+N(n-2）

    于是有N(n)-N(n-1）=-[N(n-1）-N(n-2）]/n=(-1/n)[-1/(n-1）][-1/(n-2）]…（-1/3）[N⑵-N⑴]=(-1）^n/n!

  因此

    N(n-1）-N(n-2）=(-1）^(n-1）/(n-1）！

    N⑵-N⑴=(-1）^2/2!

  相加，可得

    N(n)=(-1）^{2/2!+…+(-1）}(n-1）/(n-1）！+(-1）^n/n!

  因此

    M(n)=n![(-1）^{2/2!+…+(-1）}(n-1）/(n-1）！+(-1）^n/n!]

  可以得到

  错排公式为M(n)=n！（1/2!-1/3!+…..+(-1）^n/n!)

容斥原理

  正整数1、2、3、……、n的全排列有n！种，其中第k位是k的排列有（n-1）！，当k取1、2、3、……、n时，共有n*（n-1）！种排列，由于是错排，这些排列应排除，但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为

    M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1）^nn!/n!=sigma(k=2~n) (-1）^kn!/k!

    即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1）^n/n!]

    注：sigma表示连加符号，（k=2~n）是连加的范围

代码实现

import java.util.Scanner

public class isdigui {

private static int k=0;

public static void main(String[] args) {

          Scanner cin=new Scanner(System.in);

          long a=cin.nextLong();

          System.out.print(fibonacci(a));

}

     public static long fibonacci(long m){

    if(m==1){return 0;}

    else if(m==2){return 1;}

    else return (m-1)*(fibonacci(m-1)+fibonacci(m-2));

     }

}