今年的kaws 冬季学校是在线上，少了一些氛围，课程并没有比去年intense，不过很容易产生疲倦的感觉，也少了很多讨论的乐趣还有学习的热情。最重要的还是少了banquet的大餐还有无限续杯的咖啡吧。
课程已经过半，今年的课程都很硬核，纯度也很高。
- N=1 4D dynamics
因为对Tachikawa的好感所以看了他个人网站上的lecture notes，有关于超对称场论的，有关于topological phase的，可能收获不多，理解不深，但是对我还是产生了很大的影响，也就是一种“品味”的提高吧。那时候特别想看懂Seiberg-Witten duality，花了一些时间，看了各种各样的note，不过就像读小说一样，现在只是记得一些“高潮”而已。还有就是也想看懂Tachikawa写的N=1 4D dynamics的note，不过也是“徒劳无功”。就成了一个心结：at some point，还是想窥探里面的玄机。这次Shlomo的lecture真是太和我的胃口了，配合从之前Tachikawa note里获得的零星知识竟然看出了一些趣味。
可能的一个逻辑是这样：比如我们的目的是explore the space of CFT。可能第一个想到是用conformal bootstrap，直接利用conformal symmetry本身的限制，这也算是一种“第一性”原理的计算吧。另外的思路就是deformation。比如我知道一个CFT，然后我们turn on some deformation：比如gauge some symmetry，或者直接加入一些operator，然后跟着RG flow 。我们就可能得到一个新的CFT fix point。难点是RG-flow是一个很复杂的dynamical 的过程，我们如何知晓新的CFT 的是什么样的。但是很辛运，我们有一些工具，RG 不变量，来帮助我们。比如anomaly，witten index。anomaly因为其拓扑的原因，所以随连续的变换改变。而index，是一种特殊的state counting，是不依赖于能量的。
如果再假设超对称，anomaly能给出更多的信息：conformal anomaly可以有R-symmetry anomaly的计算得到！所以知道R-symmetry的性质，就可以知道理论是不是conformal的了。那接下来的问题是我们如何知道IR CFT的R-symmetry，我们可以用a-maximization如果我们知道IR CFT的所有abelian symmetry。
如果deformation 是exactly marginal的，那么就可以直接用这个turn on 这个deformation得到一个新的CFT。这就引出了conformal manifold 的概念，就是一个理论所有exactly marginal deformation构成的manifold。marginal deformation是很好找的，比如可以看deform operator 的dimension，或者算gauge symmetry与R-symmetry的联合anomaly。这些marginal deformation 构成一个manifold，然后我们再modulo理论的对称性就得到了conformal manifold。要是理论没有对称性，那么marginal deformation就是exact 的了。或者某个marginal deformation在对称性下是不变的，那么他也是exactly marginal的。所以这就提供了我们一个构造conformal manifold的方法，我们可以通过turn on一些marginal deformation在conformal manifold里移动来去到一些对称性比较小的点，这样我们就能更容易的得到那些在对称性不动的点（conformal manifold就是这些点点集合）。
通过RG flow得到的IR CFT有很多有意思的性质；比如symmetry enhancement，还有duality （Seiberg duality）。
Seiberg duality不但很有意思而且很有用，他说两个具有相同flavour numbers Nf 但是分别具有SU(N),SU(Nf-N)的两个理论对偶。首先这很有用，因为一个理论是强耦合还是弱耦合是于N/Nf 的ratio 有关的。当其中一个理论是强耦合的时候，他的对偶理论就有可能是弱耦合的，所以我们有了一个很大的弱耦合的参数的空间，叫conformal window。如何N=Nf-N，这时候看起来我们有一个sefl-dual的情况，但是其实两个理论的对称群虽然同一个群，但是对称性其实是不一样的，所以整个理论的对称性应该更大，这就是一个enhancement。
一个自然的问题就是我们怎样理解这些性质？研究发现，这些性质可能是有几何的原因的：我们可以从一个6维的super CFT出发，然后compactify到一个Riemann surface上面来得到一个4维理论，我们也可以把这个过程称为一个geometric deformation。这样Riemann 面的几何信息就反映到了最后4维SCFT里面。我们知道所有Riemann surface可以通过一些pants 拼接得到，但是可以有很多不同的拼接方法，这个就是duality的一个来源。这个就很有意思，可惜这里Shlomo因为时间不够了把本来两个lecture的内容压缩到一个了，真想让他再讲一次。
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