解析函数与柯西黎曼方程

作者: 爱思考的胖次呆 | 来源:发表于2019-07-05 15:48 被阅读0次

解析函数与柯西黎曼方程
复分析
复解析函数的充要条件与柯西黎曼方程
01.数论
最美公式——黎曼猜想
【高中生】学好高中数学必备的七大基本方法，各种题型完全击破，高
数理方程-达朗贝尔公式推导过程
今日复变
柯西-黎曼关系的应用
幂函数与几何综合：2008年文数海南卷题21

1、理论

若复函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 定义域为开集D，则 $f(z)$ 在区域D内解析的充要条件是 $u$ 和 $v$ 在D内连续可微，同时， $u$ 和 $v$ 满足CR方程（Cauchy-Riemann Equation）。

2、柯西-黎曼方程

假设复函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z_0=x_0+iy_0$ 处可微，则在 $z_0$ 处偏微分 $u_x, u_y, v_x, v_y$ 均存在，且满足：
$\begin{split} \begin{align} &u_x=v_y \\ &u_y=-v_x \end{align} \end{split} \tag{1}$

3、推导

3.1 充分条件

由于 $u$ 、 $v$ 的一阶偏微分存在且连续:
$\begin{split} \Delta u=\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x +\frac{\partial u}{\partial y} \Delta y+\alpha_1(\Delta z)\\ \Delta v=\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x +\frac{\partial v}{\partial y} \Delta y+\alpha_2(\Delta z) \end{split} \tag{2}$
CR方程：
$\begin{split} \frac {\partial u}{\partial x}=\frac {\partial v}{\partial y} \qquad \frac {\partial u}{\partial y}=-\frac {\partial v}{\partial x} \end{split} \tag{3}$
由(2)、(3)，可得：
$\begin{split} \begin{align} f(z+\Delta z)-f(z) & =\Delta u+i\Delta v \\ & = (u_x+iv_x)(\Delta x+i\Delta y)+\alpha_1(\Delta z)+i\alpha_2(\Delta z) \end{align} \end{split}$
于是：
$\begin{split} \begin{align} \lim_{\Delta \to 0} \frac {f(z+\Delta z)}{\Delta z}&=\lim_{\Delta z\to 0} \frac{(u_x+iv_x)(\Delta x+i\Delta y)+\alpha_1(\Delta z)+i\alpha_2(\Delta z)}{\Delta x+i\Delta y}\\ &=\lim_{x \to x_0}[\frac {\partial u}{\partial x}+\frac {\partial v}{\partial x}] \end{align} \end{split} \tag{4}$
由于 $u_x, v_x$ 在区域D内连续，所以(4)式中的极限存在，也即 $f(z)$ 的在D内解析。

3.2必要条件

由于 $f(z)$ 在D内解析，对于复函数而言，这等价于 $f(z)$ 在D内处处无穷可微。

另一方面，复函数在某一点可微，意味着在该点任意方向导数都应该相等，那么沿x，y轴方向的方向导数也应该相等。比如，在D内任取一点 $z_0=x_0+iy_0$ ，则：
$\lim_{h_x \to 0} \frac {f(z_0+h_x)-f(z_0)}{h_x}=\lim_{h_y \to 0} \frac {f(z_0+ih_y)-f(z_0)}{ih_y} \tag{5}$
其中， $h_x$ 和 $h_y$ 为实数，表示x和y轴的增量。

公式（5）的左边可以写成
$\begin{split} \begin{align} \frac {\partial f(z)}{\partial x}&=\lim_{h_x \to 0} \frac {f(z_0+h_x)-f(z_0)}{h_x}\\ \\ &=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0) \end{align} \end{split} \tag{6}$
公式（5）的右边可以写成
$\begin{split} \begin{align} \frac {\partial f(z)}{\partial y}&=\lim_{h_y \to 0} \frac {f(z_0+ih_y)-f(z_0)}{ih_y} \\\\ &=-i[u_y(x_0,y_0)+iv_y(x_0,y_0)] \end{align} \end{split} \tag{7} \\$
对比公式（6）和（7），可得
$\begin{split} \frac {\partial u}{\partial x}=\frac {\partial v}{\partial y} \qquad \frac {\partial u}{\partial y}=-\frac {\partial v}{\partial x} \end{split} \tag{8}$
公式（8）即为柯西-黎曼方程。

解析函数与柯西黎曼方程
1、理论若复函数定义域为开集D，则在区域D内解析的充要条件是和在D内连续可微，同时，和满足CR方程（Cauchy...
复分析
week3 week3 -柯西-黎曼等式如果函数在出可微: 反之,如果不满足柯西-黎曼等式.则函数在上不可微...
复解析函数的充要条件与柯西黎曼方程
复变函数一般表示为。如果函数在点z的某个邻域内处处可导, 则称在点z解析。如果在区域D内的每一点都解析, 则称...
01.数论
【数论】数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ...
最美公式——黎曼猜想
猜想内容黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。黎曼假设断言，方程ζ(...
【高中生】学好高中数学必备的七大基本方法，各种题型完全击破，高
01函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等...
数理方程-达朗贝尔公式推导过程
本文记录的是一维波动方程柯西问题的解：达朗贝尔公式的推导过程给出问题一维波动方程柯西问题（为方便讨论记为方程A...
今日复变
柯西积分公式: f（z。）=1/2πi∮cf（z）/（z-z。）dz 高阶导数公式: 解析函数的导数仍解析。 f（...
柯西-黎曼关系的应用
这是一个较为总结的思维导图，其中推导的关键我都写上了，请大家认真看，字字珠玑，试着推一遍。（笔是真的不太好写，不是...
幂函数与几何综合：2008年文数海南卷题21
幂函数与几何综合：2008年文数海南卷题21 设函数，曲线在点处的切线方程为 . （Ⅰ）求的解析式...