我们一般把数学中比较难的题目称为奥数,所以奥数当然不限于一种种类,那么今天我要讲的是奥数中的几何部分中几道我比较感兴趣的题目
在这一道题里,我们知道整个大三角ABC的面积是十平方厘米,Ae是AD的1/2,DC是BD的1/3,然后就让我们自己来求阴影部分的面积,首先一看到这道题,我就能非常灵敏地感觉到三角形bed也就是阴影部分的一部分和三角形bea是面积一样的,就因为他们共用了一个底,并且它们的高也是一模一样的,因为它们的高都是AD的1/2,因为他们的高的一个端点都是E,另外一个端点都是AD两个端点之一,但是在上面我们好像依然求不出整个阴影部分的面积,所以接下来我们就可以直接把上面那一个小三角放到下面,我画出的这一个小的三角也就是三角形efd之中,因为我们也可以确定它们的面积也是完全相等的,同样的道理,因为它们的高也都是AD的1/2,而它们的底也都是共用的底,所以他们的面积是绝对一样的,那我们还可以推断出来,现在的整块阴影部分也就是三角形bfd了,那么三角形bfd和三角形dcf都是从f点向BC作垂线,所以也是一样的,但是它们的底整块的阴影部分是三角形dcf的3倍,所以面积也是三倍,那么我们就知道整个三角形分成的这几个部分的比例了,下面的这一块,整个被我们平移之后的阴影部分和三角形dcf的比例是3:1,三角形abf当然也和三角形bfd一样,因为我们也可以直接把阴影部分全部都压缩到三角形baf里,所以他们当然是一样,所以整个大三角形的比例就是3比3比一,其中阴影部分占三分,所以我们也就可以得出阴影部分,就是大三角形的3/7。
接下来我们再看一下这一个,我们知道BD被ef这两个点三等分,并且我们知道四边形afce的面积是25,求整个四边形abcd的面积,其实我们就可以直接一眼看出三角形ade和三角形aef和三角形abf是面积一样的,因为它的底是一样的,(因为三等分)高也是一样的,(因为都是从a点做BD的垂线)所以面积当然一样,那么既然一边一样,另外一边也用同理,我们根本不用证明三角形ade和三角形BEC相等,三角形aef和三角形efc相等,等等之类的,因为我们可以直接知道两个相同的部分,商家肯定不会有其他结果,当x和y是定值的时候,x+y当然也是定值。所以这里。那么这里面有多少个和三角形aef,加上三角形efc组合在一起形成的这一个四边形的面积相等的面积相等的地方呢?还有两处,也就是三角形ade,加上三角形dec和三角形cfb+三角形afb。所以我们直接用25×3就可以算出来整个大四边形的面积了。
在这一到题目中,我们知道Ao,=1/3 AC,三角形BOD的面积是36平方厘米,那么既然这样,我们就可以很明显的推出三角形aod和三角形bod的面积是1比2的关系,因为它们的高是一模一样的,而它们的底又是1比3的关系,所以他们的面积就是1比2的关系,所以我们就可以求出三角形aob的面积就是18平方厘米,然后接下来我们好像就很难往下推进了,因为我不能证明三角形。Aod和三角形aob的关系,没有说另外一条线也是如此,并没有说BO=1/3 BD但是这个时候我们可以直接证明三角形BOC和三角形ADO面积相等,其实我们可以直接想象一下,三角形ABC和三角形abd是不是面积一样的,他们很明显似的,因为它们同底等高,那么难斗本来相同的两个三角形同时减去相同的三角形ABO,得到的三角形aod和三角形Boc面子不一样?很明显他们的面积是一样的,所以我们就可以直接得出三角形BOC的面积也是18平方厘米。然后我们就可以再通过三角形BOC和三角形ABO的高是一样的,但是底的关系是2比1,推出来三角形ABO的面积就是九平方厘米,加起来我们就得到了正确答案。
这一题就是让我们求出。三角形aef的面积,我们知道长方形abcd的面积是40,三角形abe的面积是八,三角形adf的面积是十。
最开始一眼看上去,一下子听上去,感觉丝毫没有头绪,但是其实这个时候我们只要再做一条辅助线,就非常容易了
我在原题上就直接做了一条辅助线,这一个辅助线是长方形abcd的对角线,也就把长方形abcd分成了两个一模一样的三角形,那么我们就可以,因为三角形adf的面积是10,而且我分成的这两个全等的,包括面积也一模一样的三角形,每一个当然是长方形的面积的一半,也就是20,推断出来三角形afc的面积是十,然后我们同时还可以推断出来三角形aec的面积是20-8,也就是12,而我们本来就可以从图上看出来,三角形adf和三角形afc的刚是一模一样的,面积也是一模一样的,所以它们的底也必须是一模一样的,所以我们就证明出来了,df这条线和FC这一条线的长度是一模一样的,然后我们还可以从图上看出来,三角形aec和三角形abe的钩也是一模一样的,但是它们的面积之比却是8比12,也就是2比3,所以它们的底的比也就是2比3,所以我们也就能算出来三角形fce的面积了,而三角形fce本身就和三角形afc的底是一模一样的高,又是三角形afc的3/5所以我们也就可以判断出来,三角形afc的面积直接乘以3/5就可以得到三角形Ecf的面积,也就是六,那么我们用知道整个大长方形的面积,随我们直接用40-10-8-6就可以得到三角形afe的面积。
任何一道奥数题的方法,我认为是非常巧妙的,在你明白之后,值得你惊叹的,真的是太有意思了,当然,我今天讲到的也只是几何的魅力,还不是所有的类型,不过几何的魅力如此强大,奥数的魅力如此强大,也是正常的,因为数学本身就是非常有意思,非常容易让人兴奋,并且有非常巨大的魅力的
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