基本概念。

点、直线和多边形

数学中有点、直线和多边形的概念，但这些概念在计算机中会有所不同。

数学上的点，只有位置，没有大小。但在计算机中，无论计算精度如何提高，始终不能表示一个无穷小的点。另一方面，无论图形输出设备（例如，显示器）如何精确，始终不能输出一个无穷小的点。一般情况下，OpenGL中的点将被画成单个的像素，虽然它可能足够小，但并不会是无穷小。同一像素上，OpenGL可以绘制许多坐标只有稍微不同的点，但该像素的具体颜色将取决于OpenGL的实现。当然，过度的注意细节就是钻牛角尖，我们大可不必花费过多的精力去研究“多个点如何画到同一像素上”。

同样的，数学上的直线没有宽度，但OpenGL的直线则是有宽度的。同时，OpenGL的直线必须是有限长度，而不是像数学概念那样是无限的。可以认为，OpenGL的“直线”概念与数学上的“线段”接近，它可以由两个端点来确定。

多边形是由多条线段首尾相连而形成的闭合区域。OpenGL规定，一个多边形必须是一个“凸多边形”（其定义为：多边形内任意两点所确定的线段都在多边形内，由此也可以推导出，凸多边形不能是空心的）。多边形可以由其边的端点（这里可称为顶点）来确定。（注意：如果使用的多边形不是凸多边形，则最后输出的效果是未定义的，OpenGL为了效率，放宽了检查，这可能导致显示错误。要避免这个错误，尽量使用三角形，因为三角形都是凸多边形）。

可以想象，通过点、直线和多边形，就可以组合成各种几何图形。甚至于，你可以把一段弧看成是很多短的直线段相连，这些直线段足够短，以至于其长度小于一个像素的宽度。这样一来弧和圆也可以表示出来了。通过位于不同平面的相连的小多边形，我们还可以组成一个“曲面”。

在OpenGL中指定顶点

由以上的讨论可以知道，“点”是一切的基础。如何指定一个点呢？OpenGL提供了一系列函数。它们都以glVertex开头，后面跟一个数字和1~2个字母。例如：

glVertex2d
glVertex2f
glVertex3f
glVertex3fv
...

数字表示参数的个数，2表示有两个参数，3表示三个，4表示四个。字母表示参数的类型，

• s表示16位整数（OpenGL中将这个类型定义为GLshort），
• i表示32位整数（OpenGL中将这个类型定义为GLint和GLsizei），
• f表示32位浮点数（OpenGL中将这个类型定义为GLfloat和GLclampf），
• d表示64位浮点数（OpenGL中将这个类型定义为GLdouble和GLclampd）
• v表示传递的几个参数将使用指针的方式，见下面的例子。

这些函数除了参数的类型和个数不同以外，功能是相同的。例如，以下五个代码段的功能是等效的：

glVertex2i(1, 3);
glVertex2f(1.0f, 3.0f);
glVertex3f(1.0f, 3.0f, 0.0f);
glVertex4f(1.0f, 3.0f, 0.0f, 1.0f);

GLfloat VertexArr3[] = {1.0f, 3.0f, 0.0f};     
glVertex3fv(VertexArr3);

以后我们将用glVertex*来表示这一系列函数。注意：OpenGL的很多函数都是采用这样的形式，一个相同的前缀再加上参数说明标记，这一点会随着学习的深入而有更多的体会。

开始绘制

假设已经指定了若干顶点，那么OpenGL是如何知道拿这些顶点来干什么呢？是一个一个的画出来，还是连成线？或者构成一个多边形？或者做其它什么事情？为了解决这一问题，OpenGL要求：指定顶点的命令必须包含在glBegin函数之后，glEnd函数之前（否则指定的顶点将被忽略）。并由glBegin来指明如何使用这些点。例如：

glBegin(GL_POINTS);     
    glVertex2f(0.0f, 0.0f);     
    glVertex2f(0.5f, 0.0f);
glEnd();

则这两个点将分别被画出来。如果将GL_POINTS替换成GL_LINES，则两个点将被认为是直线的两个端点，OpenGL将会画出一条直线。

我们还可以指定更多的顶点，然后画出更复杂的图形。

除了GL_POINTS和GL_LINES，还有 GL_LINE_STRIP ， GL_LINE_LOOP ， GL_TRIANGLES ， GL_TRIANGLE_STRIP ， GL_TRIANGLE_FAN 等，每种方式的效果见下图：

相同点不同模式绘制效果

上述图形的代码如下。

void myDisplay()
{
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
    glMatrixMode(GL_PROJECTION);
    glLoadIdentity();
    gluPerspective(90, 5, 1, 10);
    glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
    glLoadIdentity();
    gluLookAt(0, 0, 2.0, 0, 0, 0, 0, 1, 0);
    glPointSize(2.0f);
    glTranslatef(-8, 0.0f, 0.0f);
    glBegin(GL_POINTS);
    glVertex2f(-0.8f, -0.8f);
    glVertex2f(0.4f, -0.8f);
    glVertex2f(0.9f, 0.0f);
    glVertex2f(0.5f, 0.4f);
    glVertex2f(-0.6f, 0.7f);
    glEnd();
    glTranslatef(3, 0.0f, 0.0f);
    glBegin(GL_LINES);
    glVertex2f(-0.8f, -0.8f);
    glVertex2f(0.4f, -0.8f);
    glVertex2f(0.9f, 0.0f);
    glVertex2f(0.5f, 0.4f);
    glVertex2f(-0.6f, 0.7f);
    glEnd();
    glTranslatef(3, 0.0f, 0.0f);
    glBegin(GL_LINE_STRIP);
    glVertex2f(-0.8f, -0.8f);
    glVertex2f(0.4f, -0.8f);
    glVertex2f(0.9f, 0.0f);
    glVertex2f(0.5f, 0.4f);
    glVertex2f(-0.6f, 0.7f);
    glEnd();
    glTranslatef(3, 0.0f, 0.0f);
    glBegin(GL_LINE_LOOP);
    glVertex2f(-0.8f, -0.8f);
    glVertex2f(0.4f, -0.8f);
    glVertex2f(0.9f, 0.0f);
    glVertex2f(0.5f, 0.4f);
    glVertex2f(-0.6f, 0.7f);
    glEnd();
    glTranslatef(3, 0.0f, 0.0f);
    glBegin(GL_TRIANGLES);
    glVertex2f(-0.8f, -0.8f);
    glVertex2f(0.4f, -0.8f);
    glVertex2f(0.9f, 0.0f);
    glVertex2f(0.5f, 0.4f);
    glVertex2f(-0.6f, 0.7f);
    glEnd();
    glTranslatef(3, 0.0f, 0.0f);
    glBegin(GL_TRIANGLE_STRIP);
    glVertex2f(-0.8f, -0.8f);
    glVertex2f(0.4f, -0.8f);
    glVertex2f(0.9f, 0.0f);
    glVertex2f(0.5f, 0.4f);
    glVertex2f(-0.6f, 0.7f);
    glEnd();
    glBegin(GL_TRIANGLE_FAN);
    glVertex2f(-0.8f, -0.8f);
    glVertex2f(0.4f, -0.8f);
    glVertex2f(0.9f, 0.0f);
    glVertex2f(0.5f, 0.4f);
    glVertex2f(-0.6f, 0.7f);
    glEnd();
    glFlush();
}

其中一些gl函数看字面意思很好理解，比如glTranslatef表示移动视图。具体用法在后面很快就会了解，此处不必过分纠结。

一些简单的例子

绘制一个圆

正四边形，正五边形，正六边形，……，直到正n边形，当n越大时，这个图形就越接近圆当n大到一定程度后，人眼将无法把它跟真正的圆相区别这时我们已经成功的画出了一个“圆”（注：画圆的方法很多，这里使用的是比较简单，但效率较低的一种）。

试修改下面的const int n的值，观察当n=3,4,5,8,10,15,20,30,50等不同数值时输出的变化情况将GL_POLYGON改为GL_LINE_LOOP、GL_POINTS等其它方式，观察输出的变化情况。

#include <math.h>
const int n = 20;
const GLfloat R = 0.5f;
const GLfloat Pi = 3.1415926536f;
void myDisplay(void)
{
    int i;
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
    glBegin(GL_POLYGON);
    for (i = 0; i<n; ++i)
        glVertex2f(R*cos(2 * Pi / n*i), R*sin(2 * Pi / n*i));
    glEnd();
    glFlush();
}

绘制一个圆

绘制一个五角星

首先，根据余弦定理列方程，计算五角星的中心到顶点的距离a（假设五角星对应正五边形的边长为1.0）

a = 1 / (2-2*cos(72*Pi/180));

然后，根据正弦和余弦的定义，计算B的x坐标bx和y坐标by，以及C的y坐标（假设五角星的中心在坐标原点）

bx = a * cos(18 * Pi/180);
by = a * sin(18 * Pi/180);
cy = -a * cos(18 * Pi/180);

五个点的坐标就可以通过以上四个量和一些常数简单的表示出来。

五角星

代码如下

#include <math.h>
const GLfloat Pi = 3.1415926536f;
void myDisplay(void)
{
    GLfloat a = 1 / (2 - 2 * cos(72 * Pi / 180));
    GLfloat bx = a * cos(18 * Pi / 180);
    GLfloat by = a * sin(18 * Pi / 180);
    GLfloat cy = -a * cos(18 * Pi / 180);
    GLfloat
        PointA[2] = { 0, a },
        PointB[2] = { bx, by },
        PointC[2] = { 0.5, cy },
        PointD[2] = { -0.5, cy },
        PointE[2] = { -bx, by };

    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
    // 按照A->C->E->B->D->A的顺序，可以一笔将五角星画出
    glBegin(GL_LINE_LOOP);
    glVertex2fv(PointA);
    glVertex2fv(PointC);
    glVertex2fv(PointE);
    glVertex2fv(PointB);
    glVertex2fv(PointD);
    glEnd();
    glFlush();
}

绘制正弦曲线

由于OpenGL默认坐标值只能从-1到1，（可以修改，但方法留到以后讲）所以我们设置一个因子factor，把所有的坐标值等比例缩小，这样就可以画出更多个正弦周期试修改factor的值，观察变化情况。

正弦曲线

代码如下：

#include <math.h>
const GLfloat factor = 0.1f;
void myDisplay(void)
{
    GLfloat x;
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
    glBegin(GL_LINES);
    glVertex2f(-1.0f, 0.0f);
    glVertex2f(1.0f, 0.0f);         // 以上两个点可以画x轴
    glVertex2f(0.0f, -1.0f);
    glVertex2f(0.0f, 1.0f);         // 以上两个点可以画y轴
    glEnd();
    glBegin(GL_LINE_STRIP);
    for (x = -1.0f / factor; x<1.0f / factor; x += 0.01f)
    {
        glVertex2f(x*factor, sin(x)*factor);
    }
    glEnd();
    glFlush();
}

本课讲述了点、直线和多边形的概念，以及如何使用OpenGL来描述点，并使用点来描述几何图形。大家可以发挥自己的想象，画出各种几何图形，当然，也可以用GL_LINE_STRIP把很多位置相近的点连接起来，构成函数图象。如果有兴趣，也可以去找一些图象比较美观的函数，自己动手，用OpenGL把它画出来。