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《A subjective and objective inte

《A subjective and objective inte

作者: Colleen_oh | 来源:发表于2019-06-10 16:52 被阅读0次

    大神作者

    题目:一种确定属性权重的主客观综合方法

    摘要:针对多属性决策问题,提出了一种确定属性权重的综合方法。该方法利用了决策者(DM)和目标信息形成一个双目标规划模型。因此,生成的属性权重和备选方案的排名既考虑了决策者的主观考虑,又考虑了客观信息。

    1、 介绍

    多属性决策(MADM)是指在与多个属性关联的替代方案中进行选择的问题。

    S=S_1,S_2,...S_m代表一组离散的m个可能的备选方案。

    P=P_1,P_2,...P_n是一组n属性。这些属性是客观的,并且是额外独立的。

    w=(w_1,w_2,...,w_n)^T是具有属性权重的向量,\sum\nolimits_{j=1}^n w_j=1,w_j\geq 0\forall j

    A=[a_{ij}]_{m\times n}是决策矩阵,关于属性j
的被选方案i的结果。i=1,...,m,j=1,...,n,每个 a_{ij}是介于0和1之间的目标值。它允许每个属性具有相同的测量范围。这是通过使用以下公式将矩阵A中的每个元素归一化为矩阵B中的相应元素来实现的:b_{ij}=\frac{a_{ij}-a_j^{min}}{a_j^{max}-a_j^{min}} ,i=1,...,m,j=1,...,n

    b_{ij}=\frac{a_{j}^{max}-a_{ij}}{a_j^{max}-a_j^{min}} ,i=1,...,m,j=1,...,n

    简单的加性加权法是最著名和应用最广泛的MADM方法之一。此方法中备选方案的总体值可以表示为

    通过主观方法确定的权重反映了DM的主观判断或直觉,但是由于他/她缺乏知识或经验,DM可能会影响基于权重的分析结果或替代方案的排名。客观方法通常通过利用数学模型来确定权重,但是它们忽略了DM形成中的主观判断。所以仅从主观或客观的方法来确定权重是不科学的。

    本文提出了一种求解MADM问题权重的综合方法,其中对属性的两两比较矩阵由DM给出。它是通过解决一个问题来确定权重。数学规划模型,重新考虑决策的主观因素和客观信息。

    2、确定权重的方法

    2.1 主观方法

    加权最小二乘法求权。该方法涉及一组联立线性代数方程组的求解,在概念上易于理解。下面简要介绍此方法。

    在确定权值时,假设DM给出了属性集P上的他/她的两两比较矩阵D(即Satty矩阵),矩阵D=[d_{kj}]_{n\times n}

    其中d_{kj}表示属性p_k相对于属性p_j的相对权重。

    考虑矩阵D的元素d_{kj},最好确定权重w_j,以便计算d_{kj}\approx w_k/w_j

    得到权值通过求解约束优化问题:

    其中e=(1,1,...,1)^T,F=[f_{ij}]_{n\times n},矩阵F中的元素是:

    (7a)和(7b)是一个非线性规划模型。为了使z_1最小化,构造了拉格朗日函数:

    其中\lambda _1是拉格朗日乘数,求解上式可得:

    2.2 客观方法

    通过求解数学规划模型获得权重。下面简要介绍这个方法。

    规范化决策矩阵B =(b_{ij})_{m\times n}可转换为加权标准化决策矩阵。R=[r_{ij}]_{m\times n},:

    S^*定义为理想方案,S ^*={r_1^*,r_2^*,...,r_n^*},其中:

    其中b ^*=max{(b_{1j},b_{2j},...,b_{mj})}

    每一种方案与理想方案之间的距离可以用平方距离(越小越好)来衡量:

    为了确定w_j,建立了以下多目标优化模型:

    可以将上述模型转化为单目标优化模型:

    其中H是一个对角矩阵:

    忽略约束(17c)并建立拉格朗日函数:

    求解可得:

    w^*满足约束条件(17c)。

    3、确定权重的综合方法

    为了使权重得到主观和客观因素的影响,我们将主观方法(即模型(7))和客观方法(即模型(17))结合起来,以建立以下两个目标规划模型:

    采用多目标规划分析中的线性加权求和法来解决该问题。该程序描述如下:

    其中Q=\alpha F+\beta H

    其中:

    忽略了非负约束(25c),然后建立以下拉格朗日函数

    求解可得:

    其中w^*,是由主客观综合方法确定的权重向量。

    4、综合方法的应用

    在本节中,用一个例子来实践综合方法。

    一位用户打算选择一个机器人,有四种选择可供他/她选择。在作出决定时,所考虑的属性如下:

    有关机器人的决策信息见下表。

    根据上表可以得到决策矩阵A:

    可以归一化为矩阵B

    假设机器人用户给出了他/她关于权重的成对比较矩阵D:

    三种方法(主观、客观、综合)计算权重结果如下:

    下表针对权重对方案进行了排序:

    5、结论

    改文章提出了在MADM问题中确定属性权重的主观客观综合方法。该方法通过求解一个数学规划模型来确定权重,并考虑了主观因素和客观因素。它克服了主观方法或客观方法中出现的不足。

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