主客观权重确定

作者: jessica涯 | 来源:发表于2019-07-08 21:20 被阅读0次

A Subjective and Objective Integration Approach of Determining Weights for Trustworthy Measurement

确定权重步骤概括如下：
1、通过不同专家的评估来构建正互反矩阵，并聚合矩阵获得主观权重；
2、基于可信度属性和主观权重获得客观权重；
3、基于主客观融合决定权重。
软件可信度通常由属性的可信程度（eg，可靠性、正确性、安全性等）和反映属性重要程度的权重所决定，计算式简化如下：

T是软件可信度，是第i个属性的可信程度，是第i个属性的权重。
决定权重的主观方法是基于专家评价。主要方法有：几何平均法（给每个候选属性指定相同权重）、简单加权法、层次分析法（AHP，常用于解决多准则决策问题）等。

主观方法

1、正互反矩阵

通常领域专家用模糊语言体现两个属性间的关系。例如记 $a_{ij}=2$ 说明第i个属性的重要程度是第j个属性的两倍，此时也可以说第i个属性要稍微更重要于第j个属性。相反，可得 $a_{ji}=1/2$ 。关于 $a_{ij}$ 的值及其对应描述如下图所示：

定义（正互反矩阵）：是一个的实矩阵，A是正的如果；A是互反的如果。

2、矩阵聚合

为了综合不同专家意见并得到每个属性的权重，需要聚合由专家给出的正互反矩阵。
定义（聚合矩阵）：给定互反矩阵 $A^{(r)}=(a_{ij}^{(r)})_{n \times n}(r=1,2,...,m)$ ，聚合矩阵定义为 $A^*=(a_{ij}^{*})_{n \times n}$ ，元素 $a_{ij}^{*}$ 定义如下： $a_{ij}^{*}=(a_{ij}^{(1)})^{we_1} \times ...\times(a_{ij}^{(r)})^{we_r} \times ...(a_{ij}^{(m)})^{we_m}$ 其中 $we_r$ 是第r个正互反矩阵的权重，且满足 $\sum_{r=1}^m we_r=1$ 。
聚合矩阵有以下几条性质：

聚合矩阵是正互反矩阵；
保持完全一致性（如果正互反矩阵是完全一致的，则聚合矩阵 $A^*$ 也是完全一致的）
（对正互反矩阵A，若 $a_{ij}=a_{ik}\times a_{kj},i,j,k=1,...n$ 就说A具有完全一致性。）
保持可接受一致性（若正互反矩阵是可接受一致的，则聚合矩阵 $A^*$ 也是可接受一致的）
（如果互反判断矩阵的不一致性的比例在可允许范围内，就是可接受一致的）

由上可知，具有正互反性和完全一致性的矩阵可写成如下形式：

对于一些不一致的例子，如属性b重要程度是c的两倍，属性c重要程度是d的3倍，然而属性d重要程度是b的两倍。此时衡量不一致性需要用到最大特征根。用计算一致性指数，计算矩阵不一致程度。最大特征值越大，矩阵越不稳定。

一致性指数 $CI=(\lambda_{max}-n)/(n-1)$ ，当CI=0时，矩阵式完全一致的。
随机一致性指数RI与n有关。
CR是不一致性的比例， $CR=CI/RI$ ，如果CR小于等于某个可接受值，正互反矩阵就是可接受一致的。CR越大，矩阵越不一致。
由第r个专家是研究，可以得到正互反矩阵 $A^{(r)}=(a_{ij}^{(r)})_{n \times n}$ ，通常来讲它不是完全一致的。矩阵 $A^{(r)}$ 源自于A，其中 $a_{ij}^{(r)}=\epsilon_{ij}^{(r)} \frac{w_i}{w_j}$ ，如果对所有i，j， $\epsilon_{ij}^{(r)}$ 接近于1说明扰动很小，而 $\lambda_{max}$ 可由下式计算得： $n \times \lambda_{max} = \sum_{i=1}^n(\sum_{i=1}^n\epsilon_{ij})$

3、计算 $we_r$

$we_r$ 实际上表示对第r个专家意见的接受程度。分以下四步进行计算：
step1：计算正互反矩阵的几何平均矩阵 $\bar A=(\bar a_{i,j})_{n\times n}$ 其中 $\bar a_{ij} =(a_{ij}^{(1)}\ast a_{ij}^{(2)}\ast ...a_{ij}^{(m)} )^\frac{1}{m}$ ；
step2：计算第r个正互反矩阵 $A^{(r)}$ 和几何平均矩阵 $\bar A$ 间的欧几里得距离： $d_r=\sqrt{\sum_{i=1}^n (\sum_{j=1}^n|a_{ij}^{(r)}-\bar a_{ij}|) ^2}$ step3：计算 $\theta_r=\frac{1}{d_r}$ ；
step4：计算 $we_r=\frac{\theta_r}{\sum_{k=1}^m\theta_k}$ 。

客观权重

基于属性的敏感度确定属性的主观权重：
敏感度：一个属性的敏感度就是属性在软件信任度上的影响程度。第m个属性的敏感度计算如下： $\frac{\partial T}{\partial y_m}=y_1^{ws_1}\times ...\times ws_m\times y_i^{ws_m-1}\times... y_n^{ws_n}$ 。敏感度有如下性质：

大权重：如果两个属性的信任度相同，则主观权重较大的属性对软件置信度有很大的提高。
低可信度：如果两个可信属性的主观权重相同，则低可信度的属性对软件可信度有很大的提高。

第m个属性的主观权重如下计算： $wo_m=\frac{\frac{\partial T}{\partial y_m}}{\prod\nolimits_{i=1}^n \frac{\partial T}{\partial y_i}}$

主客观权重融合

权重不仅反映了专家的主观意愿，也更好的反映了属性可信度的客观事实。本文提出的融合方法如下：

其中u是偏好参数，如果更偏好主观权重，则u偏大；如果更偏好客观权重，u偏小。为充分使用主客观信息，提出如下的优化模型，使得结合权重与主观和客观权重间的偏差最小。

通过解上述方程，参数u为0.486.下表反映了不同u下结合的结果，发现当u为0.486是偏差最小，主客观权重结合确定权重的方法更客观也更合理。

A general multiple attribute decision-making approach for integrating subjective preferences and objective information

（PS：建议看多属性决策应用中几种主要方法的比较，讲的更全面）

多属性决策（MADM）方法是一种用于结合主观偏好和客观信息并评估属性相对权重的方法，其中主观偏好要么通过决策选择的模糊偏好关系，要么通过属性的相对权重的成对比较矩阵，或二者一起表示。客观信息由决策矩阵表示。本文介绍了该方法的三个例子，即加权最小偏差范数（WLDN），加权最小二乘偏差范数（WLSDN）和加权最小偏差范数（WMDN）方法。本文的目的是提出一种通用的MADM方法，将两种偏好关系和决策矩阵信息整合到一个模型中，从而可以以综合方式估计属性的相对权重。

SAW方法和EMs

1、MADM的SAW方法

假设MADM问题有n个决策选择 $A_1,...A_n$ 和m个决策属性 $G_1,...G_m$ 。针对m个属性评估每个备选方案，其值构成由 $X=(x_{ij})_{n\times m}$ 表示的决策矩阵。由于属性之间不可通约性，决策矩阵 $X=(x_{ij})_{n\times m}$ 需要标准化。最常用的归一化方法如下：

其中是归一化属性值，分别是受益属性和成本属性的集合。所谓的有益属性是用于最大化的属性，而成本属性是用于最小化的属性。
令为归一化决策矩阵，为满足属性权重的归一化向量：，其中s^T=(1,...1)是一个所有元素都是一的向量。根据SAW方法，候选值的总加权评估值为：其中是权重变量的线性函数。越大，候选值越好。最佳候选值是总体加权评估值最高的那个。为简洁起见，等式（4）可以用矢量形式重新表示为其中是所有备选方案的总加权评估值的向量。

2、用于建模主观偏好关系的EMs

2.1、用EM建模乘法偏好关系

要使用SAW方法进行决策分析，必须知道权重向量 $W=(w_1,...w_m)^T$ 。通常可以主观或客观地估计。客观方法，如相对熵方法[8,19]，数学规划方法[12,14-16]，主成分分析[17]和因子分析[13]，使用决策矩阵信息确定属性权重，但不考虑DM对属性相对重要性的偏好。以这种方式估计的权重有时可能违反直觉。因此，广泛使用主观方法，以便在确定属性权重时可以考虑DM的偏好。最广泛使用的主观方法是关于属性相对权重的成对比较矩阵的方法。
属性的相对权重的乘法偏好关系表示为：

A为正互反矩阵，根据Saaty的EM [11]，可以通过求解以下特征值问题来估计权重向量：如果乘法偏好关系A是关于属性的相对权重的精确/一致比较矩阵，则上式可以简化为

2.2、用EM建模模糊偏好关系

在某些情况下，DM可能更喜欢在决策选择上提供模糊偏好关系。假设由DM提供的决策选择的模糊偏好关系是已知的并且表示为

其中，则模糊偏好关系P可以看作是以下成对比较矩阵的主观估计：

其中是由方程（4）确定的候选值的总加权评估值。理论上有下列等式系统：

如果模糊偏好关系/矩阵是的精确估计，则上式可等价表述为：

显然，D可以被视为矩阵B的主要右特征向量。事实已证明（15）适用于任何模糊偏好关系，无论它是否是的精确估计。因此，DM的替代方案的主观排名可以通过求解特征值问题来获得（15）。如果将（5）代入（15），那么我们得到模糊偏好和权重向量之间的以下关系：这种关系可用于估计属性的相对权重。

结合主观偏好和客观信息的方法

1、一般方法

由于无法保证模糊偏好关系和乘法偏好关系能得到相同的属性相对权重估计值。因此，引入以下偏差向量： $E=AW-mW=(A-mI)W\\ \Gamma=[BZ-(n-1)Z]W$ 其中 $E=(\varepsilon _1,...\varepsilon _m)^T,\Gamma =(\gamma _1,...\gamma _n)^T$ 最理想的是每个偏差变量的绝对值保持尽可能小，这使得能基于偏差范数构建以下优化模型：