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最优化基础

最优化基础

作者: 吾倩 | 来源:发表于2019-02-23 17:02 被阅读0次

    这篇主要是介绍基础概念,和重要的性质


    凸集

    \forall x,y \in C ,\forall \lambda \in [0,1] ,都存在\lambda x+(1-\lambda )y \in C,则称C为凸集

    开集

    \forall x\in C,\exists  \delta >0,[x-\delta ,x+\delta ]\in C,则称C为开集

    超平面

    \forall x\in C,\exists  y 使得y\cdot x为常量

    支撑面

    平面a如果与凸体Q有公共点,且Q在a的一侧,则称a为Q的支撑面

    凸函数

    满足以下两个条件的函数

    1)函数的作用域是凸集

    2)\forall x,y \in C,\forall \lambda \in [0,1],都有f(\lambda x+(1-\lambda )y)<=\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)

    凸函数的性质:(懒得打了,复制了附1中的图片)

    还有一个性质,当hessian阵为正定阵时,凸函数为严格凸,但是反向并不成立

    一阶判定条件:利用\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =f'(x)证明

    二阶判定条件:利用中值定理和泰勒展开式证明

    梯度

    一个函数的全部偏导数构成的向量

    hessian阵

    函数的二阶偏导矩阵

    半正定矩阵

    A\in R_{nxn} ,\forall x\in R_{n} ,x'Ax>=0,则称A为半正定矩阵,充要条件是矩阵的特征值全部>=0

    鞍点

    在微分方程中,沿着某一方向是稳定的,另一条方向是不稳定的奇点,叫做鞍点。在泛函中,既不是极大值点也不是极小值点的临界点,叫做鞍点。在矩阵中,一个数在所在行中是最大值,在所在列中是最小值,则被称为鞍点

    参考资料

    1.凸函数的性质:https://www.cnblogs.com/wander-clouds/p/8569144.html


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