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5.2 参数估计时对估计量的基本要求

5.2 参数估计时对估计量的基本要求

作者: 迪丽娜扎 | 来源:发表于2019-06-15 23:57 被阅读0次

复述一遍概念:假设一个参数估计的任务是估计总体的均值,我们可以用样本均值进行估计,这个样本均值就叫估计量,实际采集了一个样本并计算了其均值,这个值叫估计值

什么意思呢?就是我估计总体均值时不一定要用样本均值啊,我可以用样本中位数,或者用样本众数作为总体的均值估计,此时所谓的样本中位数/众数,就是估计量了。这让人一听就觉得,怎么能用中位数去估计总体的均值呢?不靠谱吧~那就需要一个评价估计量靠不靠谱的标准了。这个标准包括三个方面:

1. 无偏性

无偏性是指,估计量的期望值要等于被估计的总体参数。前面也说了,估计量作为某种样本统计量,其本身是个随机变量,是随机变量就必然是有个期望值的,这个期望值得等于待估计的总体参数,这就叫无偏。

举个例子,在计算样本方差时,公式是s^{2} = \frac{\sum_{1}^{n}(x_{i}-\bar x)^{2}}{n-1}。为什么分母上是n-1而不是n呢?凭直觉也应该是n更合理。但实际情况是,以分母是n-1这样的形式定义样本方差时,样本方差才是对总体方差的无偏估计。至于为什么以后再说。

2. 有效性

有效性是指估计量的方差要尽可能小。再重复一遍,估计量是个随机变量,所以必然有方差,方差越小意味着我们采集一个样本算出来的值越接近真实的待估计值。在无偏的前提下,如果一个估计量的方差比另一个的要小,则其就是一个更好的估计量。

3. 一致性

一致性是指样本量越大,点估计量的值会越接近被估计的总体参数(携带的方差越小)。一致性与有效性有点重复,但有效性没有明确提到样本量大小。所以可以说,有效性包含了一致性,一致性只说了样本量的事儿。

但我自己没有想到有效性的具体栗子。

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