Introduction

Binaomial Tree

Binomial Heap是由一群 Binomail Tree所組成的
Binomial Tree(BT)含有下列特性:

高度為k的 BT共有2^k個node
高度為k的 BT共有2^k個node

binomial_heap_implementation

class Node{
public:
    Node parent;
    Node child;
    Node* sibling;
    int value;
    int degree;
    Node(){
        parent = NULL;
        child = NULL;
        sibling = NULL;
        value = 0;
        degree = 0;
    }
};

Function

getMin
size
Travese (postorder)
mergeHeap
Insert
deleteMin

getMin

由於每個BT本身都已經是min-heap的特性了，因此只要針對每個BT的root比較其值即可

int getMin(){
  Node* x = head;
  int min = INT_MAX; 
  while(x!=NULL){
    if(x->value < min)
    min = x->value;
    x = x->sibling;
  }
    return min;
}

size

由於 Binomial Heap內都是由 Binomial Tree組成，所以可以由每個BT的degree得到其node數量再把所有加總即可。

int size(){
    Node* tmp = head;
    int count=0;
    while(tmp){
        count+= (1<<tmp->degree);  // 2^degree
     tmp = tmp->sibling;
    }
    return count;
}

Postorder

這邊是每個BT都要獨立跑一次Postorder的結果，所以在遞迴的過程中要對root做一些控制

 //對每一棵BT都跑一次postorder
void postorder(){
  Node* tmp = head;
  while(tmp){
    _postorder(tmp);
    tmp = tmp->sibling;
}
    printf("\\n");
}

//用parent判斷是不是root,避免root跑去呼叫到別的BT
void _postorder(Node* node){
    if(!node)
        return;
    _postorder(node->child);
    if(node->parent)
        _postorder(node->sibling);
    printf("%d ",node->value);
}

MergeHeap

要合併兩個 Binomial Heap

先把兩個 Binomail Heap的 BT list給重新串接起來，以degree為key做sorting.
再根據這個新的BT list開始進行一系列的合併
如果只有兩個高度相同的BT，就直接合併
如果有三個高度相同的BT，就把後面兩棵合併(維持sorting)

 void MergeHeap(BinomialHeap &bh){
                
    mergeHeap(bh);  //先把BT list給重新串接起來
 Node* prev = NULL;
    Node* x = head;
    Node* next = x->sibling;
    while(next){
        if( (x->degree != next->degree) || next->sibling && next->sibling->degree == x->degree){
            prev = x;  //前後兩棵BT的高度不同 或是 後面三棵BT的高度都相同
         x = next;  //那就把指標往前移動，下次再合併
     }
        else if( x->value <= next->value){  //前面BT的值比較小，所以後面的合併進來
         x->sibling = next->sibling; 
            mergeTree(next,x);             
        }
        else{ //前面那棵BT的值比較大，要往後合併，視情況也要更新 head指標
         if(!prev){                   
                head = next;                //更新head 指標
         }
            else{
                prev->sibling = next;       
            }
            mergeTree(x,next);             //合併
         x = next;                    
        }
        next = next->sibling;           
    }
}

要把兩個 Binomial Heap的BT list給重新串接起來，採用merge sort的方法

merge

使用 newHead紀錄合併後的頭
使用 newCurr來紀錄每次合併後的尾

void mergeHeap(BinomialHeap &bh){
    Node* head2 = bh.head;
    Node* head1 = head;
    
    Node* newHead, *newCurr;

    if(!head1){            //如果本身是空的，就不需要合併，直接指向對方即可
     head = head2;
        return ;
    }
  else if(!head2){             //對方是空的，也不需要合併
     return ;
  }

    //先行尋找誰的開頭比較小，當做新串列的頭
 if(head1->degree > head2->degree){
        newHead = newCurr = head2;
        head2 = head2->sibling;
    }
    else {
        newHead = newCurr = head1;
        head1 = head1->sibling;
    }

    while(head1 && head2){
        if(head1->degree < head2->degree){
            newCurr->sibling = head1;
            newCurr = head1;
            head1 = head1->sibling;
        }
        else {
            newCurr->sibling = head2;
            newCurr = head2;
            head2 = head2->sibling;
        }

    }
    while(head1){
        newCurr->sibling = head1;
        newCurr = head1;
        head1 = head1->sibling;
    }
    while(head2){
        newCurr->sibling = head2;
        newCurr = head2;
        head2 = head2->sibling;
    }
    
    head = newHead;
}

合併兩個 Binomial Tree，由於我們是min-heap的特性，所以當兩棵高度相等的BT要合併時，根據root的值來決定誰是合併後的root.

Delete

void deleteMin(){
    int min = head->value;
    Node* tmp = head;
    Node* minPre = NULL;
    Node* minCurr = head;
    // 找到最小的node位於何處，由於要將該BT給拔除，所以必須要記得該BT前面那棵BT
 // 如果最小棵的是第一棵，那也要一併更新 head 指標
 while(tmp->sibling){
        if(tmp->sibling->value < min){
            min = tmp->sibling->value;
            minPre = tmp;
            minCurr = tmp->sibling;
        }
        tmp = tmp->sibling;
    }
    if(!minPre && minCurr) //最小棵是第一個
     head = minCurr->sibling;
    else if(minPre && minCurr)
        minPre->sibling = minCurr->sibling;
    
  //H' Make-BINOMIAL-HEAP()
 
    Node *pre,*curr;
    //用三個指標反轉一個 single link list
 pre = tmp = NULL;
    curr = minCurr->child;
    while(curr){
        tmp = curr->sibling;
        curr->sibling = pre;
        curr->parent = NULL;
        pre = curr;
        curr = tmp;
    }
    //創建一棵新的binomial heap,並且讓他的head 指向反轉後的BT list
  BinomialHeap bh ;
    bh.head = pre;
    //再度合併
 MergeHeap(bh);

}